Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2025 (Especial DANA) · Extraordinaria 2025 (Especial DANA)

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 1 apartado
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En abril de 2023, la Agencia Espacial Europea lanzó la misión JUICE para estudiar las lunas heladas de Júpiter. Ganímedes tiene un radio promedio de 2634 km y una masa de $1, 48 \cdot 1 0^{23}$ kg. Obtén la expresión que relaciona el periodo orbital con el radio orbital. Calcula el periodo de JUICE si se colocara en una órbita circular a 500 km de la superficie de Ganímedes. Dato: $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ N m $^{2}$ /kg $^{2}$ .

1. Dinámica orbital
$\frac{GM m}{r ^{2}} = m \frac{4 π ^{2}}{T ^{2}} r$
$T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{GM} r^{3} \Rightarrow T = 2 π \frac{r ^{3}}{GM}$
Fuerza gravitatoria = fuerza centrípeta; la masa del satélite se simplifica.
2. Radio orbital
$r = R + h = 2634 + 500 = 3134$ km
$r = 3, 134 \cdot 1 0^{6}$ m
Se mide desde el centro de Ganímedes.
3. Valor
$T = 2 π \frac{( 3 , 134 \cdot 1 0 ^{6} ) ^{3}}{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 1 , 48 \cdot 1 0 ^{23}} = 11095$
$T \approx 1, 11 \cdot 1 0^{4}$ s $\approx 3, 08$ h
—

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Considerando únicamente la interacción gravitatoria entre dos esferas homogéneas de diámetros 20 cm y 10 cm, calcula la relación entre sus masas, $m_{2} / m_{1}$ , para que el campo gravitatorio en el punto de contacto entre ellas, $P$ , sea nulo. ¿Cuál es el valor del cociente entre los potenciales gravitatorios $V_{2} / V_{1}$ en dicho punto $P$ ?

En P los campos de ambas esferas son opuestos: g₁ = g₂

1. Campo nulo en P
$g_{1} = \frac{G m _{1}}{r _{1}^{2}}, g_{2} = \frac{G m _{2}}{r _{2}^{2}}$ con $r_{1} = 5$ cm, $r_{2} = 10$ cm (P está en la superficie de cada esfera)
Los campos tienen sentidos opuestos: deben tener el mismo módulo
Una esfera homogénea actúa, en su superficie y fuera de ella, como si toda su masa estuviese en el centro.
2. Relación de masas
$\frac{G m _{1}}{r _{1}^{2}} = \frac{G m _{2}}{r _{2}^{2}} \Rightarrow \frac{m _{2}}{m _{1}} = (\frac{r _{2}}{r _{1}})^{2} = (\frac{10}{5})^{2}$
$m_{2} / m_{1} = 4$
Sale 4: la esfera grande (m2) es la de más masa.
3. Potenciales en P
$V_{i} = - \frac{G m _{i}}{r _{i}} \Rightarrow \frac{V _{2}}{V _{1}} = \frac{m _{2}}{m _{1}} \cdot \frac{r _{1}}{r _{2}} = 4 \cdot \frac{5}{10}$
$V_{2} / V_{1} = 2$
El potencial es escalar: no se anula, se suma; ambos son negativos.

2.A2 puntos

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Una carga puntual $q_{1} = 2 μ$ C se encuentra en el punto $O (0, 0)$ m y una segunda carga de valor desconocido, $q_{2}$ , en el punto $A (0, 3)$ m. Calcula: Dato: $k = 9 \cdot 1 0^{9}$ N m $^{2}$ /C $^{2}$ .

a)El valor que debe tener $q_{2}$ para que el campo eléctrico generado por ambas cargas en el punto $B (0, 4)$ m sea nulo. Representa los vectores campo eléctrico generados por cada una de las cargas en este punto.
b)La diferencia de potencial entre el punto $B$ y el punto $C (0, 8)$ m y el trabajo necesario para mover una carga $q_{3} = 0, 1 μ$ C desde $B$ hasta $C$ .

Apartado a

1. Geometría
$q_{1}$ a $4$ m de $B$ ; $q_{2}$ a $1$ m de $B$ ; ambas en el eje $y$ por debajo de $B$
Los dos campos tienen la misma dirección ( $y$ )
—
2. Condición de campo nulo
$E_{1} = \frac{k q _{1}}{4 ^{2}} j$ (repulsión, $q_{1} > 0$ ); $E_{2} = \frac{k q _{2}}{1 ^{2}} j$ ; $E_{1} + E_{2} = 0$
$q_{2} = - \frac{q _{1}}{16}$
Deben tener sentidos opuestos, así que $q_{2}$ es de signo contrario a $q_{1}$ .
3. Valor
$q_{2} = - \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 6}}{16}$
$q_{2} = - 1, 25 \cdot 1 0^{- 7} C = - 0, 125 μ$ C
Representación: $E_{1}$ hacia $+ y$ (módulo 1125 N/C), $E_{2}$ hacia $- y$ (atrae hacia $q_{2}$ , mismo módulo 1125 N/C).

Apartado b

1. Potencial en B
$V_{B} = k (\frac{q _{1}}{4} + \frac{q _{2}}{1}) = 9 \cdot 1 0^{9} (5, 0 \cdot 1 0^{- 7} - 1, 25 \cdot 1 0^{- 7})$
$V_{B} = 3375$ V
—
2. Potencial en C
$V_{C} = k (\frac{q _{1}}{8} + \frac{q _{2}}{5}) = 9 \cdot 1 0^{9} (2, 5 \cdot 1 0^{- 7} - 2, 5 \cdot 1 0^{- 8})$
$V_{C} = 2025$ V
—
3. Diferencia y trabajo
$V_{B} - V_{C} = 1350$ V; $W_{c am p o} = q_{3} (V_{B} - V_{C}) = 1 0^{- 7} \cdot 1350$
$V_{B} - V_{C} = 1350$ V; $W_{B \to C} = 1, 35 \cdot 1 0^{- 4}$ J
El campo realiza ese trabajo (+). El trabajo que hay que aportar desde fuera, a velocidad constante, es el opuesto: $- 1, 35 \cdot 1 0^{- 4}$ J (la carga baja espontáneamente).

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Un protón en reposo es acelerado por una diferencia de potencial $Δ V = 2 \cdot 1 0^{4}$ V (radioterapia con protones). A continuación entra en una región con campo magnético constante, uniforme y perpendicular a su trayectoria, $B = 0, 02$ T. Con planteamiento no relativista, determina razonadamente: Datos: $m = 1, 67 \cdot 1 0^{- 27}$ kg; $q = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C.

a)La energía cinética y el módulo de la velocidad del protón con que entra en la zona del campo magnético.
b)La expresión y el valor del radio de curvatura de la trayectoria; el tiempo que emplea en describir media órbita; razona si cambia el módulo de la velocidad del protón en esa trayectoria.

Apartado a

1. Energía cinética
$E_{c} = q Δ V = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} \cdot 2 \cdot 1 0^{4}$
$E_{c} = 3, 2 \cdot 1 0^{- 15}$ J
Trabajo del campo eléctrico = variación de $E_{c}$ (parte del reposo).
2. Velocidad
$v = \frac{2 E _{c}}{m} = \frac{6 , 4 \cdot 1 0 ^{- 15}}{1 , 67 \cdot 1 0 ^{- 27}}$
$v \approx 1, 96 \cdot 1 0^{6}$ m/s
Es $\approx 0, 65 %$ de $c$ : el tratamiento no relativista es válido.

Apartado b

1. Radio de curvatura
$q v B = \frac{m v ^{2}}{R} \Rightarrow R = \frac{m v}{q B} = \frac{1 , 67 \cdot 1 0 ^{- 27} \cdot 1 , 96 \cdot 1 0 ^{6}}{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19} \cdot 0 , 02}$
$R = \frac{m v}{q B} \approx 1, 02$ m
Fuerza de Lorentz = fuerza centrípeta ( $v ⊥ B$ ).
2. Tiempo en media órbita
$t = \frac{T}{2} = \frac{π R}{v} = \frac{π m}{q B} = \frac{π \cdot 1 , 67 \cdot 1 0 ^{- 27}}{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19} \cdot 0 , 02}$
$t \approx 1, 64 \cdot 1 0^{- 6}$ s
Independiente de $v$ y de $R$ .
3. Módulo de la velocidad
$F_{B} ⊥ v \Rightarrow W = 0$
El módulo de $v$ no cambia
La fuerza magnética solo modifica la dirección de la velocidad.

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En el seno de un campo magnético uniforme se sitúa una espira de sección $S$ constante, de forma que el plano que la contiene es perpendicular al campo. La gráfica representa la fuerza electromotriz inducida en la espira en función del tiempo. Explica cómo varía el campo magnético en los dos tramos de la gráfica. Justifica las respuestas indicando la ley física en que te basas.

1. Ley de Faraday-Lenz
$ε = - \frac{d Φ}{d t} = - S \frac{d B}{d t}$ (espira perpendicular: $Φ = B S$ )
$ε \propto d B / d t$
La f.e.m. mide la rapidez de variación del flujo; $S$ es constante.
2. Tramo 1 ( $0 < t < t_{1}$ )
$ε = 0 \Rightarrow \frac{d B}{d t} = 0$
$B$ constante
No hay variación de flujo.
3. Tramo 2 ( $t > t_{1}$ )
$ε = ε_{2} =$ cte $\neq = 0 \Rightarrow \frac{d B}{d t} = - \frac{ε _{2}}{S} =$ cte
$B$ varía linealmente con el tiempo
Aumento o disminución según el sentido elegido para la f.e.m. (con $ε_{2} > 0$ y el criterio de signo de la normal, $B$ decrece al ritmo $ε_{2} / S$ ; el signo depende del convenio).

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Explica brevemente qué es un campo de fuerzas conservativo. Una carga $q$ negativa se encuentra en el seno de un campo eléctrico. El valor del trabajo cuando se desplaza entre los puntos $A$ y $B$ de la figura es 0,01 J si se sigue el camino (1). ¿Cuál es el valor del trabajo si se sigue el camino (2)? ¿En qué punto, $A$ o $B$ , es mayor el potencial eléctrico? Razona las respuestas.

Dos caminos entre A y B: en un campo conservativo el trabajo es el mismo

1. Campo conservativo
$\oint F \cdot d r = 0$ ; $W_{A \to B}$ no depende del camino; existe $E_{p}$ con $W = - Δ E_{p}$
Ejemplo: campos gravitatorio y electrostático
—
2. Trabajo por el camino (2)
El campo eléctrico es conservativo: $W_{(2)} = W_{(1)}$
$W_{(2)} = 0, 01$ J
Solo importan los puntos inicial y final.
3. Potencial
$W_{A \to B} = q (V_{A} - V_{B}) = 0, 01 > 0$ con $q < 0 \Rightarrow V_{A} - V_{B} < 0$
$V_{B} > V_{A}$
Una carga negativa se mueve espontáneamente hacia mayor potencial (menor $E_{p}$ ).

4.A1.5 puntos

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A una olla que contiene agua se le añade aceite en cantidad suficiente para crear una capa plana de caras paralelas flotando sobre el agua. Un rayo de luz, proveniente del aire, incide sobre la superficie aire-aceite formando un ángulo de 70° con la normal. Realiza un esquema de la trayectoria del rayo en los distintos medios (aire, aceite y agua), indicando los ángulos de refracción al entrar en el aceite y luego en el agua. Datos: $n_{ai r e} = 1$ ; $n_{a ce i t e} = 1, 47$ ; $n_{a g u a} = 1, 33$ .

Ley de Snell en las dos interfaces: n sen θ se conserva

1. Ley de Snell
$n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2} = n_{3} sin θ_{3}$
—
Los medios están separados por caras paralelas: el ángulo de salida de uno es el de entrada al siguiente.
2. Aire → aceite
$sin θ_{a} = \frac{1 \cdot sin 7 0 ^{\circ}}{1 , 47} = 0, 639$
$θ_{a} = 39, 7^{\circ}$
El rayo se acerca a la normal.
3. Aceite → agua
$sin θ_{w} = \frac{1 , 47 sin 39 , 7 ^{\circ}}{1 , 33} = \frac{sin 7 0 ^{\circ}}{1 , 33} = 0, 707$
$θ_{w} = 45, 0^{\circ}$
Más cerca aún de la normal que en el aire; el resultado no depende del aceite.
4. Esquema
Rayo recto en cada medio, quebrado en las dos interfaces: $7 0^{\circ} \to 39, 7^{\circ} \to 45, 0^{\circ}$ (medidos respecto a la normal)
—
El rayo en el agua se desvía más de la normal que en el aceite (n menor).

4.B1.5 puntos

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La figura representa la propagación de una onda transversal sinusoidal en una cuerda en el instante $t = 10$ s. La onda se mueve hacia la derecha sobre el eje $x$ y su periodo es $T = 2$ s. Determina razonadamente la amplitud, la longitud de onda, la pulsación o frecuencia angular, el número de onda, la velocidad de propagación y la fase inicial.

1. Amplitud
Máximo de $y$ en la gráfica: 2 cm
$A = 2$ cm $= 0, 02$ m
—
2. Longitud de onda
Máximos consecutivos en $x = 0$ y $x = 1$ cm
$λ = 1$ cm $= 0, 01$ m
—
3. Frecuencia angular y número de onda
$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{2}; k = \frac{2 π}{λ} = \frac{2 π}{0 , 01}$
$ω = π$ rad/s; $k = 200 π \approx 628$ rad/m
—
4. Velocidad de propagación
$v = \frac{λ}{T} = \frac{0 , 01}{2}$
$v = 5 \cdot 1 0^{- 3}$ m/s $= 0, 5$ cm/s
Coincide con $ω / k$ .
5. Fase inicial
$y = A cos (ω t - k x + φ_{0})$ (onda hacia $+ x$ ); en $x = 0$ , $t = 10$ s: $y = A \Rightarrow cos (10 π + φ_{0}) = 1$
$φ_{0} = 0$ (rad)
Con la función seno sería $φ_{0} = π /2$ . La fase inicial se define en $t = 0$ , no en $t = 10$ s; como $10 π$ es un múltiplo de $2 π$ , el resultado es el mismo.

5.A2 puntos

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En el campeonato mundial de balonmano femenino de 2023, un espectador a 1 m de una vuvuzela percibió un ruido de 110 dB. Supón la vuvuzela como una fuente sonora puntual que genera ondas esféricas. Dato: $I_{0} = 1 0^{- 12}$ W/m $^{2}$ .

a)Molesto, se aleja hasta la grada de enfrente, a 31,6 m de la vuvuzela: ¿cuál es el nivel sonoro (dB) que recibe en esa posición?
b)¿Cuál es la potencia sonora que emite una vuvuzela? Si suenan nueve vuvuzelas más, justo al lado de la anterior, ¿cuál es la intensidad total y qué nivel sonoro recibe el espectador situado a 31,6 m?

Ondas esféricas: I ∝ 1/r²

Apartado a

1. Intensidad a 1 m
$β = 10 lo g \frac{I}{I _{0}} \Rightarrow I_{1} = 1 0^{- 12} \cdot 1 0^{11}$
$I_{1} = 0, 10$ W/m $^{2}$
—
2. Intensidad a 31,6 m
$I_{2} = I_{1} (\frac{1}{31 , 6})^{2} = \frac{0 , 1}{998 , 6}$
$I_{2} \approx 1, 00 \cdot 1 0^{- 4}$ W/m $^{2}$
Inverso del cuadrado de la distancia (onda esférica).
3. Nivel sonoro
$β_{2} = 10 lo g \frac{1 , 00 \cdot 1 0 ^{- 4}}{1 0 ^{- 12}}$
$β_{2} = 80$ dB
Atenuación: $- 20 lo g 31, 6 = - 30$ dB.

Apartado b

1. Potencia
$P = I_{1} \cdot 4 π r_{1}^{2} = 0, 10 \cdot 4 π \cdot 1^{2}$
$P \approx 1, 26$ W
—
2. Intensidad total (10 fuentes)
$I_{T} = 10 I_{2} = 10 \cdot 1, 00 \cdot 1 0^{- 4}$
$I_{T} \approx 1, 00 \cdot 1 0^{- 3}$ W/m $^{2}$
Las intensidades se suman.
3. Nivel total
$β_{T} = 10 lo g \frac{1 0 ^{- 3}}{1 0 ^{- 12}}$
$β_{T} = 90$ dB
Diez fuentes iguales suman $+ 10$ dB.

5.B2 puntos

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Un cuerpo de masa $m = 50$ kg sujeto a un muelle de constante elástica $k$ se empuja comprimiendo el muelle. Al dejar de empujar, el sistema vibra con MAS de frecuencia $\frac{1}{π}$ Hz y aceleración máxima de 2,0 m/s $^{2}$ . Calcula:

a)La amplitud de la oscilación y la fase inicial. Escribe, con la función coseno, la ecuación del movimiento $x (t)$ . Obtén la expresión de la velocidad en función del tiempo. ¿Cuál es el valor absoluto de la velocidad máxima?
b)La constante elástica del muelle. ¿Cuáles serían la energía potencial elástica máxima, la energía cinética máxima y la energía mecánica? No hay rozamientos.

Apartado a

1. Frecuencia angular
$ω = 2 π f = 2 π \cdot \frac{1}{π}$
$ω = 2$ rad/s
—
2. Amplitud
$a_{ma x} = A ω^{2} \Rightarrow A = \frac{2 , 0}{2 ^{2}}$
$A = 0, 5$ m
—
3. Fase inicial y ecuación
Se comprime el muelle y se suelta: $x (0) = - A$ (eje $x$ hacia la elongación del muelle). $cos φ_{0} = - 1$
$φ_{0} = π$ rad; $x (t) = 0, 5 cos (2 t + π)$ m
Equivale a $x = - 0, 5 cos 2 t$ .
4. Velocidad
$v = \frac{d x}{d t} = - A ω sin (ω t + φ_{0}) = - sin (2 t + π)$
$v (t) = sin (2 t)$ m/s; $∣ v_{ma x} ∣ = A ω = 1$ m/s
En $t = 0$ parte del reposo ( $v = 0$ ).

Apartado b

1. Constante elástica
$k = m ω^{2} = 50 \cdot 2^{2}$
$k = 200$ N/m
—
2. Energías
$E_{p, ma x} = \frac{1}{2} k A^{2} = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 0, 5^{2}; E_{c, ma x} = \frac{1}{2} m v_{ma x}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot 1^{2}$
$E_{p, ma x} = E_{c, ma x} = E_{m} = 25$ J
Sin rozamiento $E_{m}$ es constante; los máximos de $E_{p}$ y $E_{c}$ son iguales a ella.

61.5 puntos

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El yodo-131, $_{53}^{131}$ I, es un isótopo radiactivo con periodo de semidesintegración de 8,0 días, que se desintegra según $_{53}^{131} I \to_{x}^{y} Xe + β^{-} +_{0}^{0} γ$ . Determina los números atómico y másico del xenón. Si un paciente recibe un tratamiento con $_{53}^{131}$ I, ¿cuántos días deben transcurrir para que la cantidad de $_{53}^{131}$ I en su cuerpo se reduzca al 15 % del valor inicial? Supón que la desintegración radiactiva es la única vía de eliminación.

1. Balance de la reacción
$_{53}^{131} I \to_{x}^{y} Xe +_{- 1}^{0} β +_{0}^{0} γ$ : carga $53 = x - 1$ ; masa $131 = y + 0$
$x = 54$ ; $y = 131$
Se conservan número atómico y número másico: $_{54}^{131}$ Xe.
2. Ley de desintegración
$N = N_{0} (1/2)^{t / T_{1/2}}$ con $N / N_{0} = 0, 15$
$0, 15 = 2^{- t /8}$
Equivalente a $N = N_{0} e^{- λ t}$ con $λ = ln 2/ T_{1/2}$ .
3. Tiempo
$t = T_{1/2} \frac{ln ( 1/0 , 15 )}{ln 2} = 8, 0 \cdot \frac{1 , 897}{0 , 693}$
$t \approx 21, 9$ días
Algo menos de 3 periodos (3 periodos dejarían 12,5 %).