Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2025 · Extraordinaria 2025

1.A2 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
6 resultados comprobados en 2 apartados
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En el año 1969 el módulo de mando Columbia de la misión Apolo 11, tripulada por el astronauta Michael Collins, orbitaba con trayectoria circular, a 100 km de altura sobre la superficie de la Luna y con un periodo de 118 minutos. Mientras, Neil Armstrong y Edwin Aldrin, los otros dos tripulantes, caminaban sobre la Luna. Determina razonadamente: Datos: $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ N m $^{2}$ kg $^{- 2}$ ; $R_{L} = 1, 74 \cdot 1 0^{3}$ km.

a)La expresión para calcular la masa de la Luna y obtén su valor. Determina la velocidad de escape desde la superficie lunar.
b)La velocidad con la que el módulo de aterrizaje Eagle, tripulado por Aldrin y Armstrong, debe despegar de la superficie lunar para llegar a la órbita del módulo Columbia y con la misma velocidad a la que orbita el Columbia.

Órbita de radio r = R_L + h = 1840 km (unidades: 10³ km)

Apartado a

1. Dinámica orbital
$\frac{GM m}{r ^{2}} = m \frac{4 π ^{2}}{T ^{2}} r \Rightarrow M = \frac{4 π ^{2} r ^{3}}{G T ^{2}}$
$M_{L} = \frac{4 π ^{2} r ^{3}}{G T ^{2}}$
Radio orbital $r = R_{L} + h = 1, 84 \cdot 1 0^{6}$ m.
2. Valor
$T = 118 \cdot 60 = 7080$ s; $M_{L} = \frac{4 π ^{2} ( 1 , 84 \cdot 1 0 ^{6} ) ^{3}}{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 708 0 ^{2}} = 7, 36 \cdot 1 0^{22}$
$M_{L} \approx 7, 36 \cdot 1 0^{22}$ kg
Coincide con el valor real.
3. Velocidad de escape
$v_{esc} = \frac{2 G M _{L}}{R _{L}} = 2375$
$v_{esc} \approx 2, 37$ km/s
$E_{m} = 0$ en el infinito.

Apartado b

1. Velocidad orbital de Columbia
$v_{o} = \frac{G M _{L}}{r} = \frac{2 π r}{T} = 1633$ m/s
$v_{o} \approx 1633$ m/s
Dos expresiones que coinciden: comprobación.
2. Conservación de la energía del Eagle
$\frac{1}{2} v^{2} - \frac{G M _{L}}{R _{L}} = \frac{1}{2} v_{o}^{2} - \frac{G M _{L}}{r}$
$v = v_{o}^{2} + 2 G M_{L} (\frac{1}{R _{L}} - \frac{1}{r})$
Sale de la superficie con $v$ y llega a $r$ con $v_{o}$ .
3. Valor
$v = 2, 666 \cdot 1 0^{6} + 2 \cdot 4, 906 \cdot 1 0^{12} (\frac{1}{1 , 74 \cdot 1 0 ^{6}} - \frac{1}{1 , 84 \cdot 1 0 ^{6}}) = 1724$
$v \approx 1, 72$ km/s
—

1.B2 puntos

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Un nanosatélite artificial, de masa 1 kg, gira alrededor de la Tierra describiendo una órbita elíptica. Sabiendo que la Tierra está situada en uno de los focos de la elipse y que en el punto de la órbita más lejano (apogeo) el módulo del momento angular del nanosatélite vale $5, 6 \cdot 1 0^{10}$ kg m $^{2}$ /s: Datos: distancia del apogeo al centro de la Tierra, $r_{a} = 7000$ km; $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ N m $^{2}$ kg $^{- 2}$ ; $M_{T} = 6 \cdot 1 0^{24}$ kg.

a)Calcula razonadamente el módulo de su velocidad en dicho punto. En el punto de la órbita más cercano a la Tierra (perigeo), ¿la velocidad es mayor o menor que en el apogeo? Justifica la respuesta.
b)Determina las energías cinética y potencial gravitatoria del satélite en el apogeo, así como la energía mecánica del satélite. Supón que el nanosatélite solo se ve afectado por el campo gravitatorio terrestre.

Apartado a

1. Momento angular en el apogeo
En el apogeo $r ⊥ v$ : $L = m r_{a} v_{a}$
$v_{a} = \frac{L}{m r _{a}}$
—
2. Valor
$v_{a} = \frac{5 , 6 \cdot 1 0 ^{10}}{1 \cdot 7 \cdot 1 0 ^{6}}$
$v_{a} = 8000$ m/s
Radio en metros.
3. Perigeo
$L$ se conserva (fuerza central): $m r_{p} v_{p} = m r_{a} v_{a}$ con $r_{p} < r_{a}$
$v_{p} > v_{a}$
También lo exige la conservación de la energía: más cerca, menor $E_{p}$ , mayor $E_{c}$ .

Apartado b

1. Energía cinética
$E_{c} = \frac{1}{2} m v_{a}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 800 0^{2}$
$E_{c} = 3, 2 \cdot 1 0^{7}$ J
—
2. Energía potencial
$E_{p} = - \frac{G M _{T} m}{r _{a}} = - \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 6 \cdot 1 0 ^{24}}{7 \cdot 1 0 ^{6}} = - 5, 72 \cdot 1 0^{7}$
$E_{p} \approx - 5, 72 \cdot 1 0^{7}$ J
Cero en el infinito.
3. Energía mecánica
$E_{m} = E_{c} + E_{p} = - 2, 52 \cdot 1 0^{7}$
$E_{m} \approx - 2, 52 \cdot 1 0^{7}$ J
Negativa: órbita ligada.

2.A1.5 puntos

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Representa razonadamente los vectores campo eléctrico que generan en el punto $P$ cada una de las tres cargas indicadas en la figura. Razona qué vector de la figura representa el campo eléctrico total en dicho punto $P$ . Si se conoce que el potencial eléctrico que produce la carga positiva $+ Q$ en el punto $P$ es de 100 V, ¿cuál es el potencial eléctrico en $P$ ?

1. Campos individuales (distancia $d$ )
$E_{0} = \frac{k Q}{d ^{2}}$ . $+ Q$ repele: $E_{1} = E_{0} i$ ; $- Q$ atrae hacia ella: $E_{2} = E_{0} i$ ; $- 2 Q$ atrae hacia ella: $E_{3} = 2 E_{0} j$
—
Dibujar los tres vectores con origen en P.
2. Campo total
$E = 2 E_{0} i + 2 E_{0} j$ : componentes iguales, 45° sobre el eje $+ x$
Vector I
II tiene más componente vertical que horizontal; III y IV apuntan hacia $- x$ , imposible.
3. Potencial
$V = \frac{k Q}{d} + \frac{k ( - Q )}{d} + \frac{k ( - 2 Q )}{d} = 100 - 100 - 200$
$V_{P} = - 200$ V
Escalar: se suma con el signo de cada carga.

2.B1.5 puntos

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Una partícula con carga $q = - 1 0^{- 6}$ C tiene un movimiento rectilíneo uniforme en sentido positivo del eje $x$ , en una región en la que actúan un campo eléctrico y un campo magnético. La velocidad de la partícula es $v = 15$ km/s y el campo magnético es $B = - 0, 8 k$ T. Calcula razonadamente la fuerza eléctrica, $F_{E}$ , que actúa sobre la partícula y el vector campo eléctrico, $E$ . Representa las fuerzas que actúan sobre la partícula y los vectores campo eléctrico y magnético.

Movimiento rectilíneo uniforme: fuerza neta nula

1. Fuerza magnética
$F_{B} = q v \times B = - 1 0^{- 6} (1, 5 \cdot 1 0^{4} i) \times (- 0, 8 k)$ ; $i \times k = - j$
$F_{B} = - 1, 2 \cdot 1 0^{- 2} j$ N
$v B = 1, 2 \cdot 1 0^{4}$ .
2. Movimiento rectilíneo uniforme
$\sum F = 0 \Rightarrow F_{E} = - F_{B}$
$F_{E} = + 1, 2 \cdot 1 0^{- 2} j$ N
Aceleración nula.
3. Campo eléctrico
$E = \frac{F _{E}}{q} = \frac{1 , 2 \cdot 1 0 ^{- 2} j}{- 1 0 ^{- 6}}$
$E = - 1, 2 \cdot 1 0^{4} j$ N/C
Carga negativa: $E$ opuesto a $F_{E}$ . Coincide con $E = - v \times B$ .

3.A2 puntos

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Dos cargas puntuales $q_{A}$ y $q_{B}$ se sitúan en los puntos $A (- 1, 0)$ m y $B (1, 0)$ m, respectivamente. Sabiendo que el vector campo eléctrico en el punto $C (0, 1)$ m es $E = 1, 1 j$ kN/C, calcula razonadamente: Dato: $k = 9 \cdot 1 0^{9}$ N m $^{2}$ C $^{- 2}$ .

a)El valor de ambas cargas.
b)La energía potencial eléctrica de una carga $q^{'} = 5, 0 \cdot 1 0^{- 6}$ C situada en el punto $C$ y el trabajo realizado al desplazar dicha carga desde el punto $C$ hasta el punto $D (0, - 1)$ m.

Las componentes horizontales se anulan; queda E = 1,1 j kN/C

Apartado a

1. Geometría
$r_{A C} = r_{B C} = 2$ m; $u_{A} = \frac{1}{2} (1, 1)$ , $u_{B} = \frac{1}{2} (- 1, 1)$ (de la carga a C)
$r^{2} = 2$
—
2. Componente $x$ nula
$E_{x} = \frac{k}{2} \frac{1}{2} (q_{A} - q_{B}) = 0$
$q_{A} = q_{B} = q$
El campo es vertical solo si las cargas son iguales.
3. Componente $y$
$E_{y} = 2 \cdot \frac{k q}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{k q}{2} = 1100 \Rightarrow q = \frac{1100 2}{9 \cdot 1 0 ^{9}}$
$q_{A} = q_{B} = 1, 73 \cdot 1 0^{- 7} C \approx 0, 173 μ C$
Positivas: el campo en C apunta hacia $+ y$ .

Apartado b

1. Potencial en C
$V_{C} = \frac{k q _{A}}{2} + \frac{k q _{B}}{2} = 2 k q = 2200$ V
$V_{C} = 2200$ V
—
2. Energía potencial
$E_{p} = q^{'} V_{C} = 5, 0 \cdot 1 0^{- 6} \cdot 2200$
$E_{p} = 1, 1 \cdot 1 0^{- 2}$ J
—
3. Trabajo C→D
$D$ también está a $2$ m de $A$ y $B$ : $V_{D} = V_{C}$ ; $W = - q^{'} (V_{D} - V_{C})$
$W = 0$
Por simetría; la fuerza eléctrica es conservativa.

3.B2 puntos

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Dos conductores largos y rectilíneos situados en los ejes $x$ e $y$ , trasportan las corrientes $I_{1} = 15$ A e $I_{2} = 10$ A respectivamente, como se muestra en la figura. Calcula: Datos: $μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7}$ T m/A; carga del protón, $q = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C.

a)El campo magnético en el punto $P (2, 2, 0)$ cm.
b)La fuerza magnética (módulo, dirección y sentido) sobre un protón, que en el punto $P$ , se mueve con una velocidad de $5, 0 \cdot 1 0^{6}$ m/s paralela y del mismo sentido que la corriente eléctrica $I_{2}$ .

Cada hilo crea en P un campo a 2 cm de distancia

Apartado a

1. Campo de $I_{1}$ (eje $x$ , $d = 2$ cm)
$B_{1} = \frac{μ _{0} I _{1}}{2 π d} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 15}{0 , 02} = 1, 5 \cdot 1 0^{- 4}$ T. Corriente $- i$ , P está en $+ j$ : $(- i) \times j = - k$
$B_{1} = - 1, 5 \cdot 1 0^{- 4} k$ T
Regla de la mano derecha: hacia dentro del papel.
2. Campo de $I_{2}$ (eje $y$ , $d = 2$ cm)
$B_{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 10}{0 , 02} = 1, 0 \cdot 1 0^{- 4}$ T. Corriente $+ j$ , P en $+ i$ : $j \times i = - k$
$B_{2} = - 1, 0 \cdot 1 0^{- 4} k$ T
También hacia dentro.
3. Total
$B = B_{1} + B_{2}$
$B = - 2, 5 \cdot 1 0^{- 4} k$ T
Se suman: mismo sentido.

Apartado b

1. Fuerza de Lorentz
$F = q v \times B$ con $v = 5, 0 \cdot 1 0^{6} j$
$F = q v \times B$
Protón: $q > 0$ .
2. Cálculo
$F = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} \cdot 5 \cdot 1 0^{6} (j \times (- 2, 5 \cdot 1 0^{- 4} k))$ ; $j \times k = i$
$F = - 2, 0 \cdot 1 0^{- 16} i$ N
$∣ F ∣ = q v B = 2, 0 \cdot 1 0^{- 16}$ N, dirección $x$ , sentido $- x$ (hacia el eje $y$ , donde está $I_{2}$ ).

41.5 puntos

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Al explotar el último de los petardos de una mascletà que se disparó en Alicante con motivo de Les Fogueres de Sant Joan, se midió un nivel sonoro de 90 dB a una distancia de 75 m del petardo. Suponiendo que las ondas sonoras son esféricas, calcula razonadamente la intensidad de la onda sonora a dicha distancia, la potencia sonora del petardo y la intensidad de la onda sonora a 125 m. Dato: $I_{0} = 1 0^{- 12}$ W/m $^{2}$ .

Ondas esféricas: I ∝ 1/r²

1. Intensidad a 75 m
$β = 10 lo g \frac{I}{I _{0}} \Rightarrow I = 1 0^{- 12} \cdot 1 0^{9}$
$I = 1, 0 \cdot 1 0^{- 3}$ W/m $^{2}$
—
2. Potencia
$P = I \cdot 4 π r^{2} = 1 0^{- 3} \cdot 4 π \cdot 7 5^{2} = 70, 7$
$P \approx 70, 7$ W
Onda esférica.
3. Intensidad a 125 m
$I^{'} = I (\frac{75}{125})^{2} = 1 0^{- 3} \cdot 0, 36$
$I^{'} = 3, 6 \cdot 1 0^{- 4}$ W/m $^{2}$
La intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (la potencia es la misma).

5.A1.5 puntos

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En la figura adjunta se representa la posición de una partícula de masa 1 kg que describe un movimiento armónico simple sobre el eje $x$ . Obtén razonadamente la frecuencia angular, la energía mecánica de la partícula y su velocidad en el instante $t = 2$ s.

1. Periodo y frecuencia angular
$x (0) = x (2) = 5$ cm y se repite el mismo estado (subiendo): $T = 2$ s; $ω = 2 π / T$
$ω = π$ rad/s
Amplitud $A = 10$ cm.
2. Energía mecánica
$E = \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot π^{2} \cdot 0, 1 0^{2}$
$E \approx 4, 93 \cdot 1 0^{- 2}$ J
—
3. Fase inicial
$x = A cos (ω t + φ_{0})$ ; $x (0) = 5 \Rightarrow cos φ_{0} = \frac{1}{2}$ ; creciente $\Rightarrow φ_{0} = - π /3$
$x = 0, 10 cos (π t - π /3)$
Máximo en $t = 1/3$ s: coincide con la gráfica.
4. Velocidad en $t = 2$ s
$v = - A ω sin (ω t + φ_{0}) = - 0, 1 π sin (2 π - π /3) = + 0, 1 π \cdot \frac{3}{2}$
$v (2) = + 0, 272$ m/s
Alternativa: $v = ω A^{2} - x^{2} = π 0, 1^{2} - 0, 0 5^{2}$ , signo + porque $x$ crece.

5.B1.5 puntos

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En la imagen de la derecha, un haz láser que se propaga por el aire incide sobre la cara plana de un vidrio cuyo índice de refracción es $n$ . Utilizando la información de la imagen, determina $n$ y la velocidad de la luz en ese medio. Datos: $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s, $n_{a} = 1, 00$ .

1. Ley de Snell
$n_{a} sin θ_{i} = n sin θ_{r}$
—
$θ_{i} = 4 0^{\circ}$ se mide desde la normal.
2. Ángulo de refracción
El ángulo de $64, 6 3^{\circ}$ es con la superficie: $θ_{r} = 9 0^{\circ} - 64, 6 3^{\circ} = 25, 3 7^{\circ}$
$θ_{r} = 25, 3 7^{\circ}$
Si fuera con la normal saldría $n < 1$ , imposible.
3. Índice de refracción
$n = \frac{1 , 00 \cdot sin 4 0 ^{\circ}}{sin 25 , 3 7 ^{\circ}} = 1, 500$
$n \approx 1, 50$
—
4. Velocidad en el vidrio
$n = \frac{c}{v} \Rightarrow v = \frac{3 \cdot 1 0 ^{8}}{1 , 50}$
$v = 2, 0 \cdot 1 0^{8}$ m/s
—

6.A1.5 puntos

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Se ilumina la superficie de un metal con luz monocromática y se comprueba que este emite electrones. Nombra y explica el fenómeno ¿Cómo varía la energía cinética de los electrones emitidos si se aumenta la frecuencia de la luz incidente? ¿Qué cambia si se aumenta la intensidad de dicha luz sin modificar la frecuencia? Razona las respuestas.

1. Fenómeno
Los fotones ceden su energía $h f$ a electrones del metal; si $h f \geq W_{0}$ se emiten
Efecto fotoeléctrico
Cada electrón absorbe un solo fotón.
2. Energía cinética
$E_{c, ma x} = h f - W_{0}$
Aumenta linealmente con $f$
Pendiente $h$ ; la $E_{c}$ máxima no depende de la intensidad.
3. Intensidad
Mayor intensidad = más fotones por segundo, misma energía por fotón
Más electrones emitidos (más corriente fotoeléctrica); misma $E_{c}$
El potencial de frenado no cambia.

6.B1.5 puntos

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El hipotético módulo espacial de la figura tiene una masa en reposo $M_{0} = 1 0^{4}$ kg y una longitud propia $L_{0} = 11, 0$ m. Se mueve en una dirección a lo largo de su longitud con una velocidad $v$ relativa a la base de control situada en la Tierra. Respecto a dicha base, se mide la longitud del módulo espacial y su resultado es $L = 10, 0$ m. ¿Cuál es la velocidad $v$ con la que se mueve el módulo espacial respecto a la base de control? ¿Y su energía total relativista? Dato: $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s.

Contracción de la longitud: L = L₀/γ

1. Contracción de longitudes
$L = \frac{L _{0}}{γ} \Rightarrow γ = \frac{11 , 0}{10 , 0} = 1, 10$
$γ = 1, 10$
La longitud se mide en la dirección del movimiento.
2. Velocidad
$γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}} \Rightarrow \frac{v}{c} = 1 - \frac{1}{γ ^{2}} = 0, 4166$
$v \approx 0, 417 c \approx 1, 25 \cdot 1 0^{8}$ m/s
—
3. Energía total
$E = γ M_{0} c^{2} = 1, 10 \cdot 1 0^{4} \cdot (3 \cdot 1 0^{8})^{2}$
$E = 9, 9 \cdot 1 0^{20}$ J
Frente a $E_{0} = 9 \cdot 1 0^{20}$ J en reposo.