Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2024 · Extraordinaria 2024

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
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La tercera ley de Kepler establece la relación entre el radio orbital $r$ de un planeta y su periodo $T$ . Si la órbita alrededor del Sol se considera circular, esta relación viene dada por $T^{2} = C r^{3}$ , donde $C$ es una constante. Deduce razonadamente esta relación, explicando en qué principio o ley física te basas y escribe la expresión de $C$ en función de otras magnitudes. ¿Depende el periodo de la masa del planeta? Justifica la respuesta.

La fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta: GMm/r² = mω²r

1. Principio
Ley de gravitación universal + dinámica del movimiento circular uniforme
$F_{g} = m a_{n}$
La fuerza gravitatoria del Sol es la fuerza centrípeta.
2. Planteamiento
$\frac{GM m}{r ^{2}} = m \frac{v ^{2}}{r} = m \frac{4 π ^{2}}{T ^{2}} r$
$T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{GM} r^{3}$
Con $v = 2 π r / T$ .
3. Constante
$C = \frac{4 π ^{2}}{G M _{S o l}}$
$C = \frac{4 π ^{2}}{G M _{S o l}}$
Depende solo de la masa del Sol (el astro central).
4. Masa del planeta
$m$ se simplifica
El periodo no depende de la masa del planeta
Planetas de distinta masa a la misma distancia tienen el mismo periodo.

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Dos corrientes eléctricas paralelas y de gran longitud están separadas entre sí una distancia $4 d$ . La corriente $I_{1} = 6$ A está dirigida hacia arriba, como aparece en la figura. Determina el valor y sentido de la corriente $I_{2}$ , para que el campo magnético resultante en el punto $P$ sea nulo. ¿Qué fuerza actuará sobre una carga eléctrica negativa que, pasando por $P$ , se mueva en la misma dirección que las corrientes eléctricas? Razona todas las respuestas.

Entre hilos con corrientes del mismo sentido los campos se oponen

1. Distancias a P
$d_{1} = 3 d$ (a $I_{1}$ ), $d_{2} = d$ (a $I_{2}$ )
—
—
2. Campo de $I_{1}$
$B_{1} = \frac{μ _{0} I _{1}}{2 π \cdot 3 d}$ ; con $I_{1} ↑$ y P a su derecha: $\overset{}{^} \times \overset{}{^} = - \hat{k}$
$B_{1}$ entrante (hacia dentro del papel)
Regla de la mano derecha.
3. Sentido de $I_{2}$
Para anular $B_{1}$ , $B_{2}$ debe ser saliente. P está a la izquierda de $I_{2}$ : $\overset{}{^} \times (- \overset{}{^}) = + \hat{k}$
$I_{2}$ hacia arriba (mismo sentido que $I_{1}$ )
Entre corrientes paralelas del mismo sentido los campos se oponen.
4. Valor de $I_{2}$
$\frac{μ _{0} I _{2}}{2 π d} = \frac{μ _{0} I _{1}}{2 π \cdot 3 d} \Rightarrow I_{2} = \frac{I _{1}}{3} = \frac{6}{3}$
$I_{2} = 2$ A
—
5. Fuerza sobre la carga
$F = q v \times B$ con $B (P) = 0$
$F = 0$
La carga se mueve paralela a las corrientes; en cualquier caso el campo total en P es nulo y no hay fuerza magnética.

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Dos partículas idénticas de carga $q = 1 μ$ C y masa $m = 1$ g se encuentran inicialmente en reposo y separadas por una distancia $d = 1$ m. Calcula la energía mecánica de una de las partículas. Supongamos que una de las partículas permanece fija mientras que la otra se deja libre: ¿cuál es su energía mecánica cuando se encuentra a una distancia de la otra partícula que es diez veces la inicial? Justifica la respuesta. Calcula su velocidad en dicho punto. Nota: considera solo la interacción electrostática. Dato: $k = 9 \cdot 1 0^{9}$ N m $^{2}$ /C $^{2}$ .

1. Energía mecánica inicial
Reposo: $E_{c} = 0$ ; $E_{m} = E_{p} = \frac{k q ^{2}}{d} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot ( 1 0 ^{- 6} ) ^{2}}{1}$
$E_{m} = 9 \cdot 1 0^{- 3}$ J
Energía de la interacción de la pareja; se toma como la energía mecánica de la partícula móvil en el campo de la otra.
2. A distancia $10 d$
Solo fuerza electrostática (conservativa): $E_{m}$ se conserva
$E_{m} = 9 \cdot 1 0^{- 3}$ J
Con $E_{p} = k q^{2} / (10 d) = 9 \cdot 1 0^{- 4}$ J y $E_{c} = 8, 1 \cdot 1 0^{- 3}$ J.
3. Velocidad
$E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} = 8, 1 \cdot 1 0^{- 3} \Rightarrow v = \frac{2 \cdot 8 , 1 \cdot 1 0 ^{- 3}}{1 0 ^{- 3}}$
$v \approx 4, 02$ m/s
$m = 1 g = 1 0^{- 3}$ kg.

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Una espira circular de radio 30 cm, contenida en el plano $X Y$ , se encuentra en una zona con un campo magnético uniforme $B = 5 k$ T. Durante 0,1 s el campo magnético aumenta de forma constante hasta valer $10 k$ T. ¿Cuánto valdrá la fuerza electromotriz inducida durante el proceso? Indica cuál será el sentido de la corriente inducida en la espira mediante una figura. Justifica las respuestas indicando la ley física en que te basas.

1. Ley de Faraday
$ε = - \frac{d Φ}{d t}$ , $Φ = B S cos 0^{\circ}$ ( $B ∥$ normal de la espira)
—
—
2. Superficie y variación del flujo
$S = π r^{2} = π \cdot 0, 3 0^{2} = 0, 2827$ m $^{2}$ ; $ΔΦ = S Δ B = 0, 2827 \cdot 5$
$ΔΦ = 1, 414$ Wb
—
3. F.e.m.
$∣ ε ∣ = \frac{ΔΦ}{Δ t} = \frac{1 , 414}{0 , 1}$
$∣ ε ∣ \approx 14, 1$ V ( $ε = - 14, 1$ V)
Constante porque $B$ aumenta linealmente.
4. Sentido (Lenz)
El flujo en $+ z$ aumenta: la corriente inducida crea un campo en $- z$ para oponerse
Sentido horario visto desde $+ z$
Regla de la mano derecha: campo inducido hacia $- z$ dentro de la espira = giro horario visto desde arriba.

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Un objeto de 10 cm de altura está situado a 1 m del vértice de un espejo esférico convexo de 1 m de distancia focal. Calcula la posición y el tamaño de la imagen que se forma. Indica las características de la imagen con la ayuda de un esquema de rayos.

1. Datos (normas DIN)
$s = - 1$ m; $f = + 1$ m (espejo convexo); $y = 10$ cm
—
En espejos convexos la focal es positiva en la convención DIN usada en Valencia.
2. Ecuación del espejo
$\frac{1}{s} + \frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{s ^{'}} = 1 - \frac{1}{- 1} = 2$
$s^{'} = + 0, 5$ m
La imagen está detrás del espejo.
3. Tamaño
$A = - \frac{s ^{'}}{s} = - \frac{0 , 5}{- 1} = + 0, 5; y^{'} = A y = 0, 5 \cdot 10$
$y^{'} = + 5$ cm
—
4. Características
$s^{'} > 0$ (detrás del espejo), $A > 0$ , $∣ A ∣ < 1$
Imagen virtual, derecha y menor
Trazado: rayo paralelo que se refleja como si saliera del foco (detrás); rayo dirigido al centro de curvatura que vuelve sobre sí; los prolongamientos se cortan detrás del espejo.

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Un rayo de luz monocromática pasa de un medio 1 de índice de refracción $n_{1}$ a otro medio 2 con índice de refracción $n_{2}$ . Si se cumple que $n_{1} > n_{2}$ , indica y razona cómo cambia la velocidad $v$ , la frecuencia $f$ y la longitud de onda $λ$ del rayo al pasar del medio 1 al medio 2.

Al pasar a un medio de menor índice el rayo se aleja de la normal

1. Velocidad
$v = \frac{c}{n}$ ; $n_{1} > n_{2} \Rightarrow v_{2} > v_{1}$
$v$ aumenta
—
2. Frecuencia
La frecuencia la fija el foco emisor y no cambia en la refracción
$f$ constante
—
3. Longitud de onda
$λ = \frac{v}{f}$ con $f$ constante: $λ_{2} = λ_{1} \frac{n _{1}}{n _{2}} > λ_{1}$
$λ$ aumenta
—

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Supongamos que se realiza la fusión nuclear de un núcleo de deuterio con un núcleo de tritio, $_{1}^{2}$ H $+_{1}^{3}$ H $\to_{2 b}^{a}$ X $+_{0}^{b}$ Y. Determina $a$ y $b$ e indica razonadamente qué partículas son $X$ e $Y$ . En cada reacción se generan 17,6 MeV de energía. Utilizando la anterior reacción de fusión, ¿cuántos gramos de deuterio se necesitarían para generar la energía eléctrica consumida en un año por los hogares de una ciudad como Alicante? Datos: $m_{D} = 3, 34 \cdot 1 0^{- 27}$ kg; $q = 1, 60 \cdot 1 0^{- 19}$ C; energía eléctrica anual de los hogares de Alicante, $1, 62 \cdot 1 0^{15}$ J.

1. Número atómico
Carga: $1 + 1 = 2 b + 0 \Rightarrow b = 1$
$b = 1$
—
2. Número másico
$2 + 3 = a + b = a + 1$
$a = 4$
—
3. Partículas
$X =_{2}^{4} He$ (partícula $α$ , $Z = 2$ , $A = 4$ ); $Y =_{0}^{1} n$ (neutrón, carga 0)
$X$ : helio-4; $Y$ : neutrón
—
4. Energía por reacción
$E = 17, 6 \cdot 1 0^{6} \cdot 1, 60 \cdot 1 0^{- 19}$
$E = 2, 816 \cdot 1 0^{- 12}$ J
—
5. Núcleos de deuterio necesarios
$N = \frac{1 , 62 \cdot 1 0 ^{15}}{2 , 816 \cdot 1 0 ^{- 12}}$
$N = 5, 75 \cdot 1 0^{26}$
Cada reacción consume un núcleo de D.
6. Masa
$m = N m_{D} = 5, 75 \cdot 1 0^{26} \cdot 3, 34 \cdot 1 0^{- 27}$
$m \approx 1, 92$ kg $\approx 1, 9 \cdot 1 0^{3}$ g
—

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Un láser de fluoruro de kriptón, que se utiliza en experimentos de fusión por confinamiento inercial, puede emitir un haz de luz de longitud de onda 248 nm, con una energía de $1, 1 \cdot 1 0^{3}$ J en un tiempo de 1 ns. Obtén razonadamente la energía de un fotón, la potencia del láser (en MW) y el número de fotones que emite este láser en dicho intervalo de tiempo. Datos: $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s; $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34}$ J s.

1. Energía del fotón
$E_{f} = \frac{h c}{λ} = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{8}}{248 \cdot 1 0 ^{- 9}}$
$E_{f} = 8, 02 \cdot 1 0^{- 19}$ J
—
2. Potencia
$P = \frac{E}{t} = \frac{1 , 1 \cdot 1 0 ^{3}}{1 0 ^{- 9}}$
$P = 1, 1 \cdot 1 0^{12}$ W $= 1, 1 \cdot 1 0^{6}$ MW
—
3. Número de fotones
$N = \frac{E}{E _{f}} = \frac{1 , 1 \cdot 1 0 ^{3}}{8 , 02 \cdot 1 0 ^{- 19}}$
$N \approx 1, 37 \cdot 1 0^{21}$ fotones
—

P12 puntos

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Un satélite de masa $m$ se mueve con velocidad $v = 5 \cdot 1 0^{5}$ m/s en una órbita circular de radio $r = 4 \cdot 1 0^{8}$ m alrededor de un planeta de masa $M$ . La energía cinética del satélite es $E_{c} = 2 \cdot 1 0^{18}$ J. Calcula: Dato: $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ N m $^{2}$ /kg $^{2}$ .

a)Las masas $M$ del planeta y $m$ del satélite.
b)La energía potencial y la energía mecánica del satélite en su órbita. Calcula también la energía mínima que será necesario aportar para que se aleje indefinidamente del planeta desde la órbita en que se encuentra.

Apartado a

1. Masa del satélite
$E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} \Rightarrow m = \frac{2 E _{c}}{v ^{2}} = \frac{4 \cdot 1 0 ^{18}}{( 5 \cdot 1 0 ^{5} ) ^{2}}$
$m = 1, 6 \cdot 1 0^{7}$ kg
—
2. Masa del planeta
$\frac{GM m}{r ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{r} \Rightarrow M = \frac{v ^{2} r}{G} = \frac{( 5 \cdot 1 0 ^{5} ) ^{2} \cdot 4 \cdot 1 0 ^{8}}{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11}}$
$M \approx 1, 50 \cdot 1 0^{30}$ kg
—

Apartado b

1. Energía potencial
$E_{p} = - \frac{GM m}{r} = - m v^{2} = - 2 E_{c}$
$E_{p} = - 4 \cdot 1 0^{18}$ J
Con $GM / r = v^{2}$ .
2. Energía mecánica
$E_{m} = E_{c} + E_{p} = 2 \cdot 1 0^{18} - 4 \cdot 1 0^{18}$
$E_{m} = - 2 \cdot 1 0^{18}$ J
$E_{m} = - E_{c}$ para órbitas circulares.
3. Energía de escape
$E_{m} + Δ E = 0$ (llegar al infinito con $E_{c} = 0$ )
$Δ E = 2 \cdot 1 0^{18}$ J
—

P22 puntos

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Dada la distribución de cargas de la figura, calcula: Dato: $k = 9 \cdot 1 0^{9}$ N m $^{2}$ C $^{- 2}$ .

a)El valor de la carga $q$ para que el campo eléctrico sea nulo en el punto $(0, 1)$ m.
b)El trabajo necesario para llevar una carga de 5 $μ$ C desde el infinito (donde tiene energía cinética nula) hasta el punto $(0, 1)$ m.

Apartado a

1. Campos de $q_{1}$ y $q_{2}$ en $(0, 1)$
Distancia $2$ m cada una: $E = \frac{k \cdot 1 0 ^{- 6}}{2} = 4500$ N/C; componentes $x$ opuestas (se anulan), componentes $y$ iguales
$E_{y} = 2 \cdot 4500 \cdot \frac{1}{2} = 6364$ N/C hacia $+ y$
Las dos cargas son positivas y repelen.
2. Condición de campo nulo
$q$ en $(0, 0)$ a 1 m del punto: $E_{q} = \frac{k q}{1 ^{2}} j$ debe ser $- 6364 j$
$q = - \frac{6364}{9 \cdot 1 0 ^{9}} = - 7, 07 \cdot 1 0^{- 7}$ C
$q = - \frac{2}{2} μ C \approx - 0, 707 μ$ C (negativa: atrae hacia sí).

Apartado b

1. Potencial en $(0, 1)$
$V = \frac{k q _{1}}{2} + \frac{k q _{2}}{2} + \frac{k q}{1} = 12728 - 6364$
$V = 6364$ V
$V (\infty) = 0$ .
2. Trabajo
$W_{e x t} = q^{'} (V - V_{\infty}) = 5 \cdot 1 0^{- 6} \cdot 6364$
$W_{e x t} \approx 3, 18 \cdot 1 0^{- 2}$ J
El campo realiza $- 3, 18 \cdot 1 0^{- 2}$ J (la carga es repelida); el agente externo aporta $+ 3, 18 \cdot 1 0^{- 2}$ J.

P32 puntos

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El agua contenida en un depósito está separada del aire por una placa plana horizontal de vidrio, de espesor $e = 10$ cm, estando su cara inferior en contacto con el agua. Un rayo de luz monocromática de frecuencia $f = 3 \cdot 1 0^{14}$ Hz, procedente de una lámpara situada en el interior del depósito, incide sobre el vidrio con un ángulo $θ = 4 5^{\circ}$ respecto de la normal a la superficie de la placa. Calcula razonadamente: Datos: $n_{a g u a} = 1, 33$ ; $n_{v i d r i o} = 1, 62$ ; $n_{ai r e} = 1, 00$ ; $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s.

a)El ángulo de refracción entre el agua y el vidrio y el ángulo de refracción entre el vidrio y el aire. Representa los rayos en los tres medios.
b)El ángulo de incidencia máximo de entrada del rayo desde el agua a la placa de vidrio, $θ_{m}$ , para que salga de ésta al aire, así como el tiempo que tarda el rayo en propagarse a través del vidrio cuando incide con este ángulo $θ_{m}$ . Calcula también la longitud de onda del rayo en el interior de la placa de vidrio.

Snell en cada cara: n₁ sen θ₁ = n₂ sen θ₂ = n₃ sen θ₃ (vidrio de e = 10 cm)

Apartado a

1. Agua → vidrio
$n_{a} sin 4 5^{\circ} = n_{v} sin θ_{v} \Rightarrow sin θ_{v} = \frac{1 , 33 \cdot 0 , 7071}{1 , 62} = 0, 5806$
$θ_{v} = 35, 5^{\circ}$
Se acerca a la normal.
2. Vidrio → aire
$n_{v} sin θ_{v} = n_{ai r e} sin θ_{ai r e} \Rightarrow sin θ_{ai r e} = 1, 33 sin 4 5^{\circ} = 0, 9405$
$θ_{ai r e} = 70, 1^{\circ}$
Como la placa tiene caras paralelas: $n_{a} sin θ = n_{ai r e} sin θ_{ai r e}$ , no depende del vidrio.

Apartado b

1. Ángulo máximo
Salida al aire: $1, 33 sin θ_{m} \leq 1 \cdot sin 9 0^{\circ} \Rightarrow sin θ_{m} = \frac{1}{1 , 33}$
$θ_{m} = 48, 8^{\circ}$
Para $θ > θ_{m}$ hay reflexión total en la cara vidrio-aire.
2. Ángulo en el vidrio
$sin θ_{v} = \frac{1}{1 , 62} (= sin θ_{c})$
$θ_{v} = 38, 1^{\circ}$
Es el ángulo crítico vidrio-aire.
3. Tiempo en el vidrio
Camino $L = \frac{e}{cos θ _{v}} = \frac{0 , 10}{cos 38 , 1 ^{\circ}} = 0, 1271$ m; $v = \frac{c}{n _{v}} = 1, 852 \cdot 1 0^{8}$ m/s; $t = \frac{L}{v}$
$t \approx 6, 86 \cdot 1 0^{- 10}$ s
—
4. Longitud de onda en el vidrio
$λ_{v} = \frac{v}{f} = \frac{1 , 852 \cdot 1 0 ^{8}}{3 \cdot 1 0 ^{14}}$
$λ_{v} \approx 6, 17 \cdot 1 0^{- 7}$ m (617 nm)
$= λ_{0} / n_{v}$ con $λ_{0} = 1000$ nm; la frecuencia no cambia.

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La frecuencia umbral del cátodo de una célula fotoeléctrica es $f_{0} = 5 \cdot 1 0^{14}$ Hz. Dicho cátodo se ilumina con luz de frecuencia $f = 1, 5 \cdot 1 0^{15}$ Hz. Calcula: Datos: $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34}$ J s; $m_{e} = 9, 1 \cdot 1 0^{- 31}$ kg; $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s; $q = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C.

a)La velocidad máxima de los fotoelectrones emitidos desde el cátodo.
b)La diferencia de potencial que hay que aplicar para anular la corriente eléctrica producida en la fotocélula.

Apartado a

1. Trabajo de extracción y energía cinética
$E_{c} = h (f - f_{0}) = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} (1, 5 \cdot 1 0^{15} - 5 \cdot 1 0^{14})$
$E_{c, ma x} = 6, 63 \cdot 1 0^{- 19}$ J
Ecuación de Einstein $h f = W_{0} + E_{c}$ con $W_{0} = h f_{0}$ .
2. Velocidad máxima
$v_{ma x} = \frac{2 E _{c}}{m _{e}} = \frac{2 \cdot 6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 19}}{9 , 1 \cdot 1 0 ^{- 31}}$
$v_{ma x} \approx 1, 21 \cdot 1 0^{6}$ m/s
—

Apartado b

1. Potencial de frenado
$q V_{0} = E_{c, ma x} \Rightarrow V_{0} = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 19}}{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19}}$
$V_{0} \approx 4, 14$ V
Tensión en sentido que frena a los electrones (ánodo negativo respecto al cátodo).