Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2023 · Ordinaria 2023

C11.5 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 1 apartado
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Deduce razonadamente la expresión del periodo de un planeta en una órbita circular alrededor del Sol, en función del radio de la órbita y de la masa del Sol. Suponiendo que las órbitas de la Tierra y Urano son circulares, de radios $r_{T} = 1, 5 \cdot 1 0^{11}$ m y $r_{U} = 2, 9 \cdot 1 0^{12}$ m respectivamente, calcula el periodo orbital de Urano en años terrestres. Utiliza exclusivamente los datos del enunciado.

1. Dinámica orbital
$\frac{G M _{S} m}{r ^{2}} = m \frac{4 π ^{2}}{T ^{2}} r$
$T = 2 π \frac{r ^{3}}{G M _{S}}$ ( $T^{2} \propto r^{3}$ )
—
2. Cociente de periodos (sin $G$ ni $M_{S}$ )
$\frac{T _{U}}{T _{T}} = (\frac{r _{U}}{r _{T}})^{3/2} = (\frac{2 , 9 \cdot 1 0 ^{12}}{1 , 5 \cdot 1 0 ^{11}})^{3/2}$
$T_{U} / T_{T} = 85, 0$
Usa $T_{T} = 1$ año (dato implícito).
3. Periodo de Urano
$T_{U} = 85, 0 \cdot 1$ año
$T_{U} \approx 85$ años
—

C21.5 puntos

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Dos cargas puntuales $q = - 1$ nC están situadas en los puntos A y B de la circunferencia de radio $r$ de la figura. Representa en el punto O el vector campo eléctrico generado por cada carga y el vector campo total, indicando el ángulo que forma este último con el eje $x$ . Razona el signo y valor de la carga $Q$ que habrá que situar en el punto C (equidistante de A y B) para que el campo total de las tres cargas sea nulo en el punto O.

1. Campo de cada carga en O
$E = \frac{k ∣ q ∣}{r ^{2}}$ cada una; cargas negativas: el campo apunta hacia la carga. $E_{A} = - E i$ ; $E_{B} = + E j$
Dos vectores de módulo $E$
—
2. Campo total
$E_{A B} = E (- i + j)$
$∣ E_{A B} ∣ = 2 E$ a $13 5^{\circ}$ del eje $+ x$
Apunta hacia arriba-izquierda.
3. Carga Q en C ( $- 4 5^{\circ}$ )
El campo de $Q$ debe valer $E (i - j)$ : apunta hacia C ⇒ atractivo ⇒ $Q < 0$ ; $\frac{k ∣ Q ∣}{r ^{2}} = 2 \frac{k ∣ q ∣}{r ^{2}}$
$Q = 2 q = - 1, 41$ nC
Mismo signo que $q$ (negativo): C está en la dirección en que apunta el campo que debe cancelarse con el suyo.

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Un imán se mueve con velocidad $v$ , acercándose perpendicularmente al plano de una espira conductora circular, como indica la figura. Razona por qué se induce una corriente en la espira, basándote en la ley que explica este fenómeno. Explica el sentido de la corriente inducida y dibújalo sobre la espira. ¿Cuál es la corriente inducida si el imán permanece quieto?

1. Ley de Faraday-Lenz
$ε = - \frac{d Φ}{d t}$ , $Φ = B \cdot S$
El imán que se acerca aumenta $∣Φ∣$ ⇒ $ε \neq = 0$ ⇒ corriente inducida
Hay f.e.m. porque cambia el flujo magnético (B del imán crece sobre la espira).
2. Sentido
Polo $N$ hacia la espira: $B$ del imán apunta hacia abajo ( $- z$ ) y crece. Lenz: la espira crea $B_{in d}$ hacia arriba ( $+ z$ )
Corriente antihoraria vista desde arriba (desde $+ z$ )
El campo inducido por una corriente antihoraria apunta hacia el observador (arriba).
3. Imán en reposo
$d Φ/ d t = 0$
$I_{in d} = 0$
No hay variación de flujo.

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Una onda armónica está descrita por la función $y (x, t) = A sin (2 π f t - k x + φ)$ y se propaga por un medio con velocidad $v$ . ¿Cómo cambian su frecuencia, número de onda y fase inicial cuando esta onda pasa a otro medio donde su velocidad de propagación es $2 v$ ?

1. Frecuencia
La frecuencia la impone el foco emisor
$f$ no cambia
—
2. Número de onda
$k = \frac{2 π f}{v} \Rightarrow k^{'} = \frac{2 π f}{2 v} = \frac{k}{2}$
$k^{'} = k /2$ (la longitud de onda se duplica)
—
3. Fase inicial
La fase de la onda en el foco/origen se mantiene en el cambio de medio
$φ$ no cambia
Se supone que no hay desfase en la frontera (ignorando la fase propia de reflexión/transmisión).

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La figura muestra, en un instante fijo, una onda plana que incide desde la izquierda sobre una pared con un pequeño orificio y pasa a ser una onda circular. ¿Cómo se llama este fenómeno? Explica en qué consiste. ¿Qué magnitud física es la distancia $d$ que se representa en la figura?

Difracción: la onda se curva al pasar por la abertura

1. Fenómeno
Difracción: una onda se curva y se propaga detrás de un obstáculo u orificio de tamaño comparable a $λ$
Difracción
El orificio actúa como nuevo foco puntual (principio de Huygens): onda circular.
2. Distancia d
$d$ separa dos frentes de onda consecutivos (en fase)
$d = λ$ (longitud de onda)
—

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En la figura se muestra una lente $L$ y la posición de un objeto $O$ . La imagen es virtual y se encuentra a 10 cm de la lente. Determina la distancia focal imagen de la lente, la potencia de la lente en dioptrías y el tamaño de la imagen si el objeto mide 5 cm.

1. Datos (DIN)
Lente divergente (la imagen virtual del objeto real está más cerca); $s = - 50$ cm; $s^{'} = - 10$ cm
—
Cada cuadrícula son 10 cm; O está a 5 cuadros de la lente.
2. Distancia focal
$\frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{s ^{'}} - \frac{1}{s} = \frac{1}{- 10} - \frac{1}{- 50} = - \frac{4}{50}$
$f^{'} = - 12, 5$ cm
—
3. Potencia
$P = \frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{- 0 , 125}$
$P = - 8$ D
Negativa: lente divergente.
4. Tamaño
$A = \frac{s ^{'}}{s} = \frac{- 10}{- 50} = 0, 2; y^{'} = 0, 2 \cdot 5$
$y^{'} = + 1$ cm
Imagen virtual, derecha y menor.

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Un neutrón tiene una energía cinética relativista de 50 MeV. Determina la relación (cociente) entre la energía total del neutrón y su energía en reposo. Calcula la velocidad del neutrón. Datos: $m_{0} = 940$ MeV/ $c^{2}$ ; $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s.

1. Cociente de energías
$E = E_{0} + E_{c} = 940 + 50 = 990$ MeV; $\frac{E}{E _{0}} = γ$
$E / E_{0} = \frac{990}{940} = 1, 053$
—
2. Velocidad
$γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}} \Rightarrow \frac{v}{c} = 1 - \frac{1}{γ ^{2}} = 1 - (\frac{940}{990})^{2}$
$v = 0, 314 c \approx 9, 41 \cdot 1 0^{7}$ m/s
—

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El potencial de frenado de una célula fotoeléctrica es nulo cuando la luz incidente tiene la longitud de onda umbral $λ_{0} = 540$ nm. Determina la frecuencia umbral. Obtén la expresión del potencial de frenado $Δ V$ en función de la frecuencia $f$ de la luz incidente y explica en qué te basas para deducirla. Datos: $q = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C; $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34}$ J s; $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s.

1. Frecuencia umbral
$f_{0} = \frac{c}{λ _{0}} = \frac{3 \cdot 1 0 ^{8}}{540 \cdot 1 0 ^{- 9}}$
$f_{0} = 5, 56 \cdot 1 0^{14}$ Hz
—
2. Potencial de frenado
Einstein + conservación de la energía: $h f = h f_{0} + E_{c, ma x}$ y $E_{c, ma x} = q Δ V$
$Δ V = \frac{h}{q} (f - f_{0})$
Con $h / q = 4, 14 \cdot 1 0^{- 15}$ V s; recta de pendiente $h / q$ que corta el eje en $f_{0}$ .

P12 puntos

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El satélite Sentinel 1 se utiliza para la monitorización del suelo terrestre por teledetección. Tiene una masa $m = 2200$ kg y completa 14,5 órbitas circulares alrededor de la Tierra cada día. Datos: $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ N m $^{2}$ /kg $^{2}$ ; $M = 6, 0 \cdot 1 0^{24}$ kg; $R = 6370$ km.

a)Deduce la relación entre el radio de la órbita, la masa de la Tierra y la velocidad angular del Sentinel 1. Calcula la altura a la que se encuentra orbitando.
b)Calcula la velocidad orbital, la energía cinética y la energía mecánica del Sentinel 1.

Apartado a

1. Relación radio-velocidad angular
$\frac{GM m}{r ^{2}} = m ω^{2} r \Rightarrow r^{3} = \frac{GM}{ω ^{2}}$
$r = 3 GM / ω^{2}$
—
2. Velocidad angular
$T = \frac{86400}{14 , 5} = 5958, 6$ s; $ω = \frac{2 π}{T}$
$ω = 1, 054 \cdot 1 0^{- 3}$ rad/s
—
3. Radio y altura
$r = 3 \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 6 , 0 \cdot 1 0 ^{24}}{( 1 , 0545 \cdot 1 0 ^{- 3} ) ^{2}} = 7, 113 \cdot 1 0^{6}$ m; $h = r - R$
$h \approx 7, 43 \cdot 1 0^{5}$ m $\approx 743$ km
—

Apartado b

1. Velocidad orbital
$v = ω r = 1, 0545 \cdot 1 0^{- 3} \cdot 7, 113 \cdot 1 0^{6}$
$v \approx 7, 50 \cdot 1 0^{3}$ m/s
—
2. Energía cinética
$E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} \cdot 2200 \cdot 750 1^{2}$
$E_{c} \approx 6, 19 \cdot 1 0^{10}$ J
—
3. Energía mecánica
$E_{m} = - E_{c}$ (órbita circular)
$E_{m} \approx - 6, 19 \cdot 1 0^{10}$ J
$E_{m} = - GM m / (2 r)$ .

P22 puntos

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Se tienen tres conductores rectilíneos muy largos y paralelos entre sí. Por dos de los conductores circulan corrientes $I_{1} = 2, 0$ A e $I_{2} = 4, 0$ A en el sentido que se indica en la figura. Dato: $μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7}$ T m/A.

a)Calcula la intensidad y el sentido de la corriente en el otro conductor $I_{3}$ para que el campo magnético en el punto P de la figura sea nulo.
b)El vector campo magnético en el punto S es $B_{S} = - 7, 5 \cdot 1 0^{- 7} k$ T. Determina la fuerza que actúa sobre una carga de 1 $μ$ C que pasa por S con una velocidad $v = - 1 0^{5} j$ m/s.

Posiciones de los hilos respecto a P (I₃ sentido −y)

Apartado a

1. Campos de $I_{1}$ e $I_{2}$ en P
P a 4 cm y 8 cm a la izquierda; $B = \frac{μ _{0} I}{2 π d}$ : $B_{1} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 2}{0 , 04} = 1 0^{- 5}$ T; $B_{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 4}{0 , 08} = 1 0^{- 5}$ T
$B_{1, 2} = + 2 \cdot 1 0^{- 5} k$ T (saliente)
Para corriente hacia $+ y$ y punto a su izquierda: $\overset{}{^} \times (- \overset{}{^}) = + \hat{k}$ .
2. Campo necesario de $I_{3}$
$B_{3} = - 2 \cdot 1 0^{- 5} k$ (entrante) a 20 cm: $B_{3} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} I _{3}}{0 , 20} = 2 \cdot 1 0^{- 5}$
$I_{3} = 20$ A
Con $P$ a la izquierda de $I_{3}$ : entrante exige corriente hacia $- y$ .
3. Sentido
Hacia abajo ( $- y$ )
$I_{3} = - 20 j$ A
Sentido opuesto a $I_{1}$ e $I_{2}$ .

Apartado b

1. Fuerza de Lorentz
$F = q v \times B = 1 0^{- 6} (- 1 0^{5} j) \times (- 7, 5 \cdot 1 0^{- 7} k) = 7, 5 \cdot 1 0^{- 8} (j \times k)$
$F = 7, 5 \cdot 1 0^{- 8} i$ N
$j \times k = i$ ; los dos signos negativos dan resultado positivo.

P32 puntos

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Una onda armónica se propaga hacia la izquierda por la superficie de un estanque y provoca la oscilación de una boya, que pasa de la posición más baja a la más alta en 3 s. La figura representa la onda y la boya (círculo negro) en los instantes $t = 0$ y $t = 3$ s.

a)Determina la amplitud, longitud de onda, periodo, frecuencia y velocidad de propagación de la onda.
b)Determina la fase inicial y escribe la función de onda (utilizando la función seno). ¿Cuál es la velocidad de la boya en el instante $t = 3$ s?

Apartado a

1. Amplitud
Máximo de $y$ en la gráfica: 40 cm
$A = 0, 40$ m
—
2. Longitud de onda
Máximos en $x = 0$ y $x = 8$ m
$λ = 8$ m
—
3. Periodo y frecuencia
De mínimo a máximo (medio periodo) la boya tarda 3 s: $T /2 = 3$ s
$T = 6$ s; $f = \frac{1}{6} = 0, 167$ Hz
—
4. Velocidad de propagación
$v = \frac{λ}{T} = \frac{8}{6}$
$v = 1, 33$ m/s
Comprobación: en 3 s el máximo de $x = 8$ llega a $x = 4$ (4 m en 3 s), hacia la izquierda.

Apartado b

1. Fase inicial
Onda hacia $- x$ : $y = A sin (ω t + k x + φ_{0})$ ; en $x = 0$ , $t = 0$ : $y = A \Rightarrow sin φ_{0} = 1$
$φ_{0} = π /2$ rad
—
2. Función de onda
$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{π}{3}$ rad/s; $k = \frac{2 π}{λ} = \frac{π}{4}$ rad/m
$y (x, t) = 0, 40 sin (\frac{π}{3} t + \frac{π}{4} x + \frac{π}{2})$ m
Comprobación: $y (4, 0) = 0, 4 sin (π + π /2) = - 0, 4$ m.
3. Velocidad de la boya
$v_{y} = A ω cos (ω t + k x + φ_{0}) = 0, 4 \cdot \frac{π}{3} cos (π + π + \frac{π}{2})$
$v_{y} (x = 4, t = 3) = 0$
Está en un máximo de elongación (instante de inversión).

P42 puntos

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En una excavación arqueológica se ha encontrado un tótem de madera cuyo contenido en $^{14}$ C es el 53 % del que tienen las maderas de árboles actuales de la misma zona. Datos: $T_{1/2} (_{6}^{14} C) = 5730$ años; $q = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C; $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s.

a)Determina en qué año fue realizado el tótem.
b)El isótopo $_{6}^{14}$ C se desintegra según $_{6}^{14} C \to_{7}^{14} N + X$ . La partícula $X$ tiene una energía total $E = 0, 667$ MeV y una energía cinética $E_{c} = 0, 156$ MeV. ¿De qué tipo de radiactividad se trata? Calcula la energía en reposo y la masa de la partícula.

Apartado a

1. Ley de desintegración
$\frac{N}{N _{0}} = (\frac{1}{2})^{t / T_{1/2}} = 0, 53$
$t = T_{1/2} \frac{ln ( 1/0 , 53 )}{ln 2}$
El 53 % es la fracción restante respecto a la madera actual.
2. Valor
$t = 5730 \cdot \frac{0 , 6349}{0 , 6931}$
$t \approx 5248$ años
Tótem de hace $\approx 5250$ años: hacia el año $2023 - 5248 \approx - 3225$ (unos 3225 a. C.), tomando 2023 como año de referencia.

Apartado b

1. Partícula
$_{6}^{14} C \to_{7}^{14} N + X$ : carga $6 = 7 + q_{X} \Rightarrow q_{X} = - 1$ ; masa 14=14+0
$X = e^{-}$ : radiactividad $β^{-}$
—
2. Energía en reposo
$E_{0} = E - E_{c} = 0, 667 - 0, 156$
$E_{0} = 0, 511$ MeV
Es la energía en reposo del electrón.
3. Masa
$m = \frac{E _{0}}{c ^{2}} = \frac{0 , 511 \cdot 1 0 ^{6} \cdot 1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19}}{( 3 \cdot 1 0 ^{8} ) ^{2}}$
$m \approx 9, 08 \cdot 1 0^{- 31}$ kg
Valor del electrón (9,1·10 $^{- 31}$ kg).