Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2023 · Extraordinaria 2023

C11.5 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 1 apartado
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Deduce la expresión del periodo de un satélite que sigue una órbita circular alrededor de un planeta, en función de la masa de este y del radio de la órbita. Alrededor del planeta, de masa $M$ , orbitan dos satélites de igual masa $m$ y radios orbitales $r_{1}$ y $r_{2}$ , siendo $r_{2} > r_{1}$ . Discute cuál de los dos satélites orbitará con mayor periodo. Razona también cuál de los dos satélites tendrá menor energía potencial gravitatoria.

1. Dinámica orbital
$\frac{GM m}{r ^{2}} = m \frac{4 π ^{2}}{T ^{2}} r$
$T = 2 π \frac{r ^{3}}{GM}$
—
2. Comparación de periodos
$T \propto r^{3/2}$ y $r_{2} > r_{1}$
$T_{2} > T_{1}$ : el más lejano tarda más
No depende de la masa $m$ del satélite.
3. Energía potencial
$E_{p} = - \frac{GM m}{r}$ es negativa y aumenta (se acerca a 0) al crecer $r$
El satélite 1 (más cercano) tiene menor $E_{p}$
Menor $E_{p}$ = más negativa.

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El diagrama muestra dos cargas de magnitudes $- q$ y $9 q$ con $q > 0$ . Razona cuál de los vectores dibujados representa el vector campo eléctrico total en el punto $P$ . Si los puntos $P$ y $S$ pertenecen a la misma superficie equipotencial, ¿cuál es el trabajo realizado al llevar una carga $Q$ desde el punto $P$ hasta el punto $S$ ?

En P: E₁ hacia −q, E₂ alejándose de 9q; el total apunta abajo y a la izquierda

1. Geometría
$d_{- q} = 1$ m (abajo, vertical); $d_{9 q} = 3$ m
$cos α = 8 /3$ , $sin α = 1/3$ ( $α$ : ángulo del segmento P–9q con la horizontal)
El cateto horizontal vale $9 - 1 = 2, 83$ m.
2. Campo de $- q$
$E_{1} = \frac{k q}{1 ^{2}}$ , atractivo hacia $- q$
$E_{1} = k q (0, - 1)$
—
3. Campo de $9 q$
$E_{2} = \frac{k \cdot 9 q}{3 ^{2}} = k q$ , repulsivo (alejándose de $9 q$ )
$E_{2} = k q (- 0, 943, + 0, 333)$
Dirección: de $9 q$ hacia P.
4. Campo total
$E = E_{1} + E_{2} = k q (- 0, 943, - 0, 667)$
Vector $c$ (abajo-izquierda, $\approx 3 5^{\circ}$ bajo la horizontal)
$a$ y $d$ tienen componente vertical positiva y $b$ componente horizontal positiva: imposibles.
5. Trabajo P→S
$W = - Q (V_{S} - V_{P}) = 0$ ( $V_{S} = V_{P}$ )
$W = 0$
En una superficie equipotencial el trabajo del campo es nulo.

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Un protón se mueve con velocidad $v$ y describe una trayectoria circular en un ciclotrón en el que hay un campo magnético constante $B$ , perpendicular a $v$ . Escribe la expresión de la fuerza que actúa sobre el protón y representa los vectores velocidad, campo magnético y fuerza. Razona por qué la trayectoria es circular. ¿Cómo cambiaría la trayectoria si se tratara de un neutrón?

1. Fuerza
Fuerza de Lorentz: $F = q v \times B$ , con $∣ F ∣ = q v B$ ( $v ⊥ B$ )
$F = e v B$
Representación: $v$ tangente a la trayectoria, $B$ perpendicular al plano de la órbita, $F$ hacia el centro.
2. Trayectoria circular
$F ⊥ v$ en todo instante y de módulo constante: no cambia $∣ v ∣$ , solo su dirección
$F = m \frac{v ^{2}}{R} \Rightarrow R = \frac{m v}{e B}$ (circunferencia)
La fuerza es centrípeta.
3. Neutrón
Carga nula: $F = 0$
Trayectoria rectilínea con velocidad constante
—

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En la figura se muestra una espira circular en el seno de un campo magnético dirigido hacia dentro del plano del papel. Razona si se genera corriente inducida en la espira y en qué sentido, en los siguientes casos: a) el módulo del campo magnético disminuye y la espira permanece fija; b) el radio de la espira aumenta progresivamente y el módulo del campo magnético permanece constante.

1. Ley de Faraday-Lenz
$ε = - \frac{d Φ}{d t}$ ; $B$ entrante
—
El sentido de la corriente se opone a la variación del flujo.
2. a) $B$ disminuye
El flujo entrante disminuye ⇒ la espira crea un campo que lo refuerza (entrante)
Corriente horaria
Campo inducido hacia dentro: giro horario.
3. b) $r$ aumenta
El flujo entrante $B S$ aumenta ⇒ la espira crea un campo saliente
Corriente antihoraria
Campo inducido hacia fuera: giro antihorario.

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Determina el periodo, la longitud de onda, el número de ondas y la velocidad de propagación de una onda sísmica transversal cuya función es $y (x, t) = 2 sin (50 π t - \frac{π}{2} x)$ (todos los valores en unidades del SI). Si $y (0, t) = 2$ m, determina razonadamente el valor de $y (8, t)$ y el valor de $y (0, t + 0, 04)$ .

1. Identificación
$y = A sin (ω t - k x)$ con $A = 2$ m, $ω = 50 π$ rad/s, $k = \frac{π}{2}$ rad/m
—
—
2. Periodo y longitud de onda
$T = \frac{2 π}{ω} = \frac{2 π}{50 π}; λ = \frac{2 π}{k} = \frac{2 π}{π /2}$
$T = 0, 04$ s; $λ = 4$ m
—
3. Número de ondas y velocidad
$k = \frac{π}{2} rad/m \approx 1, 57$ rad/m; $v = \frac{λ}{T} = \frac{4}{0 , 04} = \frac{ω}{k}$
$k = π /2$ rad/m; $v = 100$ m/s
—
4. $y (8, t)$
$y (8, t) = 2 sin (50 π t - 4 π) = 2 sin (50 π t) = y (0, t) = 2$ m
$y (8, t) = 2$ m
$8$ m $= 2 λ$ : puntos separados un número entero de longitudes de onda oscilan en fase.
5. $y (0, t + 0, 04)$
$0, 04$ s $= T$ : $y (0, t + T) = y (0, t)$
$y (0, t + 0, 04) = 2$ m
—

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Escribe la expresión del nivel sonoro (en dB) en función de la intensidad de un sonido. Demuestra que una persona expuesta a un nivel sonoro de 70 dB recibe una intensidad 100 veces menor que aquella que está expuesta a un nivel sonoro de 90 dB.

1. Nivel sonoro
$β = 10 lo g \frac{I}{I _{0}}$
$I = I_{0} 1 0^{β /10}$
—
2. Cociente
$\frac{I _{90}}{I _{70}} = 1 0^{(90 - 70) /10} = 1 0^{2}$
$I_{70} = \frac{I _{90}}{100}$
—

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Demuestra que una lupa produce imágenes derechas de objetos reales si estos se encuentran entre la lupa y su foco objeto. ¿Estas imágenes son reales o virtuales? ¿Dónde debería situarse un objeto real si se desea obtener una imagen invertida? ¿Qué ocurre si situamos el objeto justo en el foco objeto de la lupa? Para responder usa en cada caso un trazado de rayos.

1. Lupa y ecuación
Lente convergente ( $f > 0$ ); objeto real a $∣ s ∣ = x < f$ : $\frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{x} = \frac{x - f}{f x} < 0$
$s^{'} = \frac{f x}{x - f} < 0$
—
2. Aumento
$A = \frac{s ^{'}}{s} = \frac{f}{f - x} > 1$ si $0 < x < f$
$A > 1$ : derecha y mayor
Imagen virtual (en el mismo lado que el objeto, $s^{'} < 0$ ).
3. Imagen invertida
$x > f \Rightarrow s^{'} > 0$ y $A < 0$
Objeto más allá del foco ( $x > f$ ): imagen real e invertida
Si $x > 2 f$ es menor; entre $f$ y $2 f$ es mayor.
4. Objeto en el foco
$x = f \Rightarrow \frac{1}{s ^{'}} = 0$
Rayos emergentes paralelos: imagen en el infinito
No se forma imagen nítida.

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La gráfica representa la actividad de una muestra radiactiva en función del tiempo (en días). Utilizando los datos de la gráfica, deduce razonadamente el periodo de semidesintegración de la muestra y la constante de desintegración. Determina el número de periodos necesarios para que la actividad pase a valer 1000 Bq.

A = A₀ (1/2)ⁿ: cada 5 días la actividad se divide por 2

1. Periodo de semidesintegración
La actividad se reduce a la mitad cada 5 días: $8000 \to 4000 (5 d) \to 2000 (10 d) \to 1000 (15 d)$
$T_{1/2} = 5$ d
$A = A_{0} e^{- λ t}$ .
2. Constante de desintegración
$λ = \frac{ln 2}{T _{1/2}} = \frac{0 , 693}{5}$
$λ = 0, 139$ d $^{- 1}$ $= 1, 60 \cdot 1 0^{- 6}$ s $^{- 1}$
—
3. Número de periodos
$A = A_{0} (\frac{1}{2})^{n} = 1000 \Rightarrow 2^{n} = \frac{8000}{1000} = 8$
$n = 3$ periodos (15 días)
—

P12 puntos

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En enero de 2023 el telescopio espacial James Webb descubrió su primer exoplaneta, el LHS 475b. Dicho planeta gira en una órbita circular alrededor de una estrella de masa $M = 5, 4 \cdot 1 0^{29}$ kg. Además, se sabe que tarda 2 días terrestres en describir una órbita. Dato: $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ N m $^{2}$ /kg $^{2}$ .

a)Calcula la distancia a la que se encuentra el planeta del centro de la estrella. Primero deduce razonadamente la expresión simbólica que relaciona dicha distancia con las otras magnitudes conocidas ( $M$ y el periodo orbital).
b)En la superficie del planeta la aceleración de la gravedad es de 9,2 m/s $^{2}$ y la velocidad de escape es de 10,8 km/s. Deduce la expresión de dicha velocidad de escape y calcula el valor de la masa y del radio del planeta.

Apartado a

1. Deducción
$\frac{GM m}{r ^{2}} = m \frac{4 π ^{2}}{T ^{2}} r \Rightarrow r^{3} = \frac{GM T ^{2}}{4 π ^{2}}$
$r = 3 \frac{GM T ^{2}}{4 π ^{2}}$
—
2. Valor
$T = 2 \cdot 86400 = 1, 728 \cdot 1 0^{5}$ s; $r = 3 \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 5 , 4 \cdot 1 0 ^{29} \cdot ( 1 , 728 \cdot 1 0 ^{5} ) ^{2}}{4 π ^{2}}$
$r \approx 3, 01 \cdot 1 0^{9}$ m
—

Apartado b

1. Velocidad de escape
$\frac{1}{2} m v_{e}^{2} - \frac{GM m}{R} = 0$ ⇒ $v_{e} = \frac{2 G M _{p}}{R}$ y $g = \frac{G M _{p}}{R ^{2}} \Rightarrow v_{e}^{2} = 2 g R$
$v_{e} = 2 g R$
—
2. Radio
$R = \frac{v _{e}^{2}}{2 g} = \frac{( 1 , 08 \cdot 1 0 ^{4} ) ^{2}}{2 \cdot 9 , 2}$
$R \approx 6, 34 \cdot 1 0^{6}$ m
—
3. Masa
$M_{p} = \frac{g R ^{2}}{G} = \frac{9 , 2 \cdot ( 6 , 34 \cdot 1 0 ^{6} ) ^{2}}{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11}}$
$M_{p} \approx 5, 54 \cdot 1 0^{24}$ kg
—

P22 puntos

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Dos cargas eléctricas de valor $q_{A} = + 2 μ$ C y $q_{B} = - 2 μ$ C están situadas en los puntos $A (3, 0)$ m y $B (0, 3)$ m, respectivamente. Dato: $k = 9 \cdot 1 0^{9}$ N m $^{2}$ /C $^{2}$ .

a)Calcula y representa en el punto $C (3, 3)$ m los vectores campo eléctrico generados por cada una de las cargas y el campo eléctrico total.
b)Calcula el potencial eléctrico en el punto $D (4, 4)$ m. Determina el trabajo para trasladar una carga de $1 0^{- 6}$ C desde el infinito hasta el punto $D$ (potencial nulo en el infinito).

Apartado a

1. Distancias
$A C = 3$ m (vertical), $B C = 3$ m (horizontal)
—
—
2. Campo de $q_{A}$ en C
$E_{A} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 2 \cdot 1 0 ^{- 6}}{3 ^{2}} = 2000$ N/C, repulsivo: de A hacia C
$E_{A} = (0, 2000)$ N/C
—
3. Campo de $q_{B}$ en C
$E_{B} = 2000$ N/C, atractivo: de C hacia B
$E_{B} = (- 2000, 0)$ N/C
—
4. Campo total
$E = E_{A} + E_{B} = (- 2000, 2000)$
$∣ E ∣ = 2828$ N/C, a $13 5^{\circ}$ del eje $+ x$
—

Apartado b

1. Potencial en D
$d_{A} = d_{B} = 1^{2} + 4^{2} = 17$ m; $V_{D} = k \frac{q _{A} + q _{B}}{17} = k \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 6} - 2 \cdot 1 0 ^{- 6}}{17}$
$V_{D} = 0$
Dipolo: D está en el plano equidistante de las dos cargas (recta $y = x$ ).
2. Trabajo
$W_{e x t} = q (V_{D} - V_{\infty}) = 1 0^{- 6} \cdot 0$
$W = 0$
El trabajo del campo también es nulo.

P32 puntos

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Una lente delgada en aire tiene una distancia focal imagen de $- 10$ cm. A 5 cm de la lente se sitúa un objeto de 2 cm de altura.

a)Calcula la posición y tamaño de la imagen. Razona si la lente es convergente o divergente.
b)Obtén razonadamente la posición de un objeto para que la imagen sea derecha y tenga un tamaño que sea la mitad que el del objeto. Justifica mediante un trazado de rayos la formación de la imagen.

Apartado a

1. Posición de la imagen (DIN)
$s = - 5$ cm, $f^{'} = - 10$ cm: $\frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{f ^{'}} + \frac{1}{s} = - \frac{1}{10} - \frac{1}{5} = - \frac{3}{10}$
$s^{'} = - 3, 33$ cm
Imagen virtual (delante de la lente).
2. Tamaño
$A = \frac{s ^{'}}{s} = \frac{- 3 , 33}{- 5} = 0, 667; y^{'} = 0, 667 \cdot 2$
$y^{'} = + 1, 33$ cm
Derecha y menor.
3. Tipo de lente
$f^{'} < 0$
Divergente
—

Apartado b

1. Condición
$A = \frac{s ^{'}}{s} = + \frac{1}{2} \Rightarrow s^{'} = \frac{s}{2}$ ; $\frac{1}{s ^{'}} - \frac{1}{s} = \frac{2}{s} - \frac{1}{s} = \frac{1}{s} = \frac{1}{f ^{'}}$
$s = f^{'} = - 10$ cm
—
2. Resultado
Objeto a 10 cm delante de la lente ( $s = - 10$ cm); imagen en $s^{'} = - 5$ cm
Objeto a 10 cm de la lente
Trazado: rayo paralelo que diverge como si saliera del foco imagen; rayo por el centro óptico sin desviarse; se cortan (prolongaciones) a 5 cm, delante de la lente.

P42 puntos

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En una experiencia se ilumina, con diferentes longitudes de onda, una placa que tiene dos zonas con metales distintos, titanio y un metal A desconocido. Se mide la energía cinética de los fotoelectrones emitidos obteniendo la gráfica adjunta. Datos: $h = 6, 6 \cdot 1 0^{- 34}$ J s; $e = - 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C; $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s; $m_{e} = 9, 1 \cdot 1 0^{- 31}$ kg. Tabla de trabajos de extracción $W$ (eV): berilio 4,95; cadmio 4,08; paladio 5,60.

a)Calcula razonadamente la longitud de onda umbral para el metal $A$ y su trabajo de extracción. Identifícalo a partir de los datos de la tabla.
b)Determina la velocidad de los electrones emitidos por el titanio cuando se ilumina con luz de frecuencia $1, 13 \cdot 1 0^{15}$ Hz. ¿Qué sucede con los electrones del metal A si se ilumina con dicha luz?

Apartado a

1. Umbral del metal A
Ec=0 para $1/ λ = 4, 0 \cdot 1 0^{6}$ m $^{- 1}$ : $λ_{0} = \frac{1}{4 , 0 \cdot 1 0 ^{6}}$
$λ_{0} = 2, 5 \cdot 1 0^{- 7}$ m (250 nm)
—
2. Trabajo de extracción
$W = \frac{h c}{λ _{0}} = 6, 6 \cdot 1 0^{- 34} \cdot 3 \cdot 1 0^{8} \cdot 4, 0 \cdot 1 0^{6} = 7, 92 \cdot 1 0^{- 19}$ J $= \frac{7 , 92 \cdot 1 0 ^{- 19}}{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19}}$ eV
$W_{A} = 4, 95$ eV: berilio
Coincide con la tabla.

Apartado b

1. Energía cinética en el titanio
$W_{T i} = h c \cdot 3, 5 \cdot 1 0^{6} = 6, 93 \cdot 1 0^{- 19}$ J ( $4, 33$ eV); $E_{c} = h f - W_{T i} = 6, 6 \cdot 1 0^{- 34} \cdot 1, 13 \cdot 1 0^{15} - 6, 93 \cdot 1 0^{- 19}$
$E_{c} = 5, 28 \cdot 1 0^{- 20}$ J
—
2. Velocidad
$v = \frac{2 E _{c}}{m _{e}} = \frac{2 \cdot 5 , 28 \cdot 1 0 ^{- 20}}{9 , 1 \cdot 1 0 ^{- 31}}$
$v \approx 3, 41 \cdot 1 0^{5}$ m/s
—
3. Metal A con esa luz
$f = 1, 13 \cdot 1 0^{15}$ Hz $< f_{0 A} = \frac{c}{λ _{0}} = 1, 2 \cdot 1 0^{15}$ Hz (también $1/ λ = 3, 77 \cdot 1 0^{6} < 4, 0 \cdot 1 0^{6}$ )
No hay emisión de electrones
$h f = 4, 66$ eV $< W_{A} = 4, 95$ eV.