Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2019 · Extraordinaria 2019

1.A1.5 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
1 resultado comprobado en 1 apartado
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Explica brevemente el concepto de velocidad de escape de un planeta y deduce su expresión en función del radio $R$ del planeta y de la aceleración de la gravedad en su superficie, $g_{0}$ .

1. Concepto
Velocidad mínima con que hay que lanzar un cuerpo desde la superficie para que llegue al infinito con velocidad nula (energía mecánica total nula)
2. Conservación de la energía mecánica
$\frac{1}{2} m v_{e}^{2} - \frac{GM m}{R} = 0 \Rightarrow v_{e} = \frac{2 GM}{R}$
3. En función de $g_{0}$
$g_{0} = \frac{GM}{R ^{2}} \Rightarrow GM = g_{0} R^{2}$
$v_{e} = 2 g_{0} R$
Independiente de la masa del cuerpo lanzado.

1.B2 puntos

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Se sitúan dos masas puntuales de $1$ kg en las posiciones $(- 3, 0)$ m y $(3, 0)$ m de un sistema de coordenadas cartesiano. Calcula para el punto $(0, 4)$ m: Dato: constante de gravitación universal, $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ N m $^{2}$ /kg $^{2}$ .

a)Los vectores campo gravitatorio que generan cada una de ellas y el vector campo gravitatorio total. Razona si existe algún punto de esta configuración donde se anula el campo gravitatorio y en caso afirmativo identifícalo.
b)El potencial gravitatorio debido a cada una de las masas y el potencial total. Razona si existe algún punto donde el potencial gravitatorio se anula.

Campos en P(0, 4): las componentes x se anulan y el total apunta a −j

Apartado a

1. Distancias y unitarios (cada masa a $5$ m de $P (0, 4)$ )
$u_{1} = \frac{( - 3 , - 4 )}{5}, u_{2} = \frac{( 3 , - 4 )}{5}$ ; $g = \frac{G m}{r ^{2}} = \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11}}{25} = 2, 67 \cdot 1 0^{- 12}$ N/kg
2. Campos individuales
$g_{1} = 2, 67 \cdot 1 0^{- 12} (- 0, 6  - 0, 8 )$ ; $g_{2} = 2, 67 \cdot 1 0^{- 12} (0, 6  - 0, 8 )$
$g_{1} = (- 1, 60  - 2, 13 ) \cdot 1 0^{- 12}$ , $g_{2} = (1, 60  - 2, 13 ) \cdot 1 0^{- 12}$ N/kg
Cada campo apunta hacia su masa.
3. Campo total y punto de campo nulo
$g = g_{1} + g_{2} = - 4, 27 \cdot 1 0^{- 12} $ N/kg
$g = - 4, 27 \cdot 1 0^{- 12} $ N/kg
Sí existe: el campo se anula en el origen $(0, 0)$ , punto medio entre las masas iguales, donde los dos campos son opuestos e iguales; fuera de ese segmento los campos se suman en el mismo sentido.

Apartado b

1. Potenciales
$V_{1} = V_{2} = - \frac{G m}{r} = - \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11}}{5} = - 1, 33 \cdot 1 0^{- 11}$ J/kg; $V = V_{1} + V_{2}$
$V = - 2, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ J/kg
2. Punto de potencial nulo
$V = - G (\frac{m}{r _{1}} + \frac{m}{r _{2}}) < 0$ en todo punto
No existe ningún punto con $V = 0$ (salvo en el infinito)
Es suma de términos negativos: con masas positivas el potencial gravitatorio es siempre negativo.

2.A1.5 puntos

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Las posiciones, respecto al origen de coordenadas, de dos cargas $q_{1} = - 4 μ$ C y $q_{2} = - 6 μ$ C son, respectivamente, $r_{1} = 3 $ m y $r_{2} = - 3 $ m. Calcula el valor de una carga $q$ , situada en el origen de coordenadas, si la fuerza eléctrica total que actúa sobre ella es $F = 2 \cdot 1 0^{- 3} $ N. Dato: constante de Coulomb, $k = 9 \cdot 1 0^{9}$ N m $^{2}$ /C $^{2}$ .

1. Fuerza de cada carga sobre $q$ (a $3$ m, sobre el eje $y$ )
$F_{1} = \frac{k q q _{1}}{3 ^{2}} \frac{r - r _{1}}{∣ r - r _{1} ∣} = - \frac{k q q _{1}}{9} , F_{2} = + \frac{k q q _{2}}{9} $
2. Suma vectorial
$F_{y} = \frac{k q}{9} (q_{2} - q_{1}) = 1 0^{9} q (- 6 + 4) \cdot 1 0^{- 6} = - 2 \cdot 1 0^{3} q$
—
3. Despejamos $q$
$2 \cdot 1 0^{- 3} = - 2 \cdot 1 0^{3} q \Rightarrow q = - 1 0^{- 6}$ C
$q = - 1 μ$ C
Comprobación: la carga negativa $q$ es repelida por $q_{1}$ hacia $- y$ con $4 \cdot 1 0^{- 3}$ N y por $q_{2}$ hacia $+ y$ con $6 \cdot 1 0^{- 3}$ N; la resultante es $+ 2 \cdot 1 0^{- 3}$ N.

2.B1.5 puntos

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Explica brevemente qué es un campo de fuerzas conservativo. Una carga positiva se encuentra en el seno de un campo electrostático. El trabajo realizado por el campo para desplazarla entre los puntos $A$ y $B$ de la figura es de $0, 01$ J si se sigue el camino (1) ¿Cuál es el trabajo si se sigue el camino (2)? ¿En qué punto, $A$ o $B$ , es mayor el potencial eléctrico? Razona las respuestas.

Dos caminos entre A y B: en un campo conservativo el trabajo es el mismo

1. Campo conservativo
El trabajo del campo entre dos puntos no depende de la trayectoria; equivale a $W_{A \to B} = - Δ E_{p}$ y es nulo en un camino cerrado
2. Trabajo por el camino (2)
El campo electrostático es conservativo: $W_{(2)} = W_{(1)}$
$W_{(2)} = 0, 01$ J
3. Potencial
$W_{A \to B} = q (V_{A} - V_{B}) = 0, 01$ J $> 0$ con $q > 0$ $\Rightarrow V_{A} > V_{B}$
Es mayor el potencial en $A$
Una carga positiva se mueve espontáneamente hacia menor potencial: el campo realiza trabajo positivo.

3.A2 puntos

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Dos hilos rectilíneos indefinidos, paralelos y separados una distancia $d = 2$ cm conducen las corrientes $I_{1}$ e $I_{2}$ , con los sentidos representados en la figura. En el punto $P$ , equidistante a ambos hilos, el módulo del campo magnético creado sólo por la corriente $I_{1}$ es $0, 06$ mT, y el del campo total debido a las dos corrientes es $0, 04$ mT. Ambos campos (el debido a $I_{1}$ y el total) tienen la misma dirección y sentido. Dato: permeabilidad magnética del vacío, $μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7}$ T m/A.

a)Calcula razonadamente el campo magnético generado por la corriente $I_{2}$ y representa claramente todos los vectores campo magnético involucrados.
b)Calcula el valor de las corrientes $I_{1}$ e $I_{2}$ .

En P los campos de los dos hilos son opuestos (⊗ entra en el papel, ⊙ sale)

Apartado a

1. Sentido de los campos (figura: ambas corrientes hacia arriba; $P$ entre los hilos)
$B_{1}$ y $B_{2}$ tienen sentidos opuestos en $P$ (a la derecha de $I_{1}$ el campo es entrante; a la izquierda de $I_{2}$ , saliente)
2. Campo de $I_{2}$
$B_{t o t} = B_{1} - B_{2}$ con $B_{t o t} = 0, 04$ mT en el sentido de $B_{1}$ ( $B_{1} > B_{2}$ ): $B_{2} = 0, 06 - 0, 04$
$B_{2} = 0, 02$ mT, de sentido opuesto a $B_{1}$
Si $B_{1}$ es entrante, $B_{2}$ es saliente y el total ( $0, 04$ mT) es entrante. Dibujo: tres vectores sobre $P$ .

Apartado b

1. Corriente $I_{1}$ ( $P$ a $r = d /2 = 1$ cm de cada hilo)
$B = \frac{μ _{0} I}{2 π r} \Rightarrow I_{1} = \frac{2 π r B _{1}}{μ _{0}} = \frac{2 π \cdot 0 , 01 \cdot 6 \cdot 1 0 ^{- 5}}{4 π \cdot 1 0 ^{- 7}}$
$I_{1} = 3$ A
2. Corriente $I_{2}$
$I_{2} = \frac{2 π r B _{2}}{μ _{0}} = \frac{2 π \cdot 0 , 01 \cdot 2 \cdot 1 0 ^{- 5}}{4 π \cdot 1 0 ^{- 7}}$
$I_{2} = 1$ A

3.B1.5 puntos

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Una espira plana de superficie $5 cm^{2}$ está situada en el seno de un campo magnético uniforme de $B = 1$ mT perpendicular al plano de la espira. Calcula el flujo magnético a través de la espira en esta situación y cuando la espira ha girado un ángulo $α = 4 5^{\circ}$ . Razona si se genera una fuerza electromotriz en la espira mientras gira.

Flujo Φ = B S cos α: B fijo, la normal gira α respecto a B

1. Flujo inicial (espira perpendicular a $B$ : $S ∥ B$ )
$Φ_{0} = B S = 1 0^{- 3} \cdot 5 \cdot 1 0^{- 4}$
$Φ_{0} = 5 \cdot 1 0^{- 7}$ Wb
2. Flujo tras girar $4 5^{\circ}$
$Φ = B S cos 4 5^{\circ} = 5 \cdot 1 0^{- 7} \cdot 0, 707$
$Φ = 3, 54 \cdot 1 0^{- 7}$ Wb
3. Fuerza electromotriz
$ε = - \frac{d Φ}{d t}$ , con $Φ (t) = B S cos α (t)$ variable mientras $α$ cambia
Sí se induce fem mientras gira
Ley de Faraday-Lenz: la fem aparece mientras varía el flujo (cuando el ángulo cambia); si la espira se detiene en $4 5^{\circ}$ , el flujo ya no varía y la fem es nula.

4.A1.5 puntos

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El gráfico representa una onda armónica en un instante arbitrario $t$ propagándose hacia la derecha del eje X con una velocidad de $2$ m/s. Determina razonadamente la amplitud y la frecuencia de la onda. ¿Cuál es la diferencia de fase entre dos puntos de la onda situados en $x_{2} = 5$ m y $x_{1} = 4$ m?

1. Amplitud (gráfica: elongación máxima $3$ mm)
$A = 3$ mm
2. Longitud de onda y frecuencia
La gráfica se repite cada $4$ m (máximos en $x = 0, 4, 8$ m): $λ = 4$ m; $f = \frac{v}{λ} = \frac{2}{4}$
$f = 0, 5$ Hz
$T = 2$ s.
3. Diferencia de fase entre dos puntos de la misma onda en el mismo instante
$Δ φ = k Δ x = \frac{2 π}{λ} (x_{2} - x_{1}) = \frac{2 π}{4} \cdot 1$
$Δ φ = \frac{π}{2}$ rad
Un cuarto de longitud de onda.

4.B2 puntos

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Una onda sinusoidal transversal en una cuerda se propaga en el sentido positivo del eje X con una velocidad de $1$ m/s y un periodo de $0, 2$ s. En el instante inicial, el punto de la cuerda situado en el origen de coordenadas tiene una elongación positiva igual a su amplitud.

a)Calcula los valores de la frecuencia angular, el número de onda y la fase inicial.
b)Si la amplitud de la onda es de $0, 1$ m, escribe la función de onda $y (x, t)$ ¿qué elongación tiene el punto de la cuerda $x = 0, 2$ m en el instante $t = 0, 4$ s?

Apartado a

1. Frecuencia angular
$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{0 , 2}$
$ω = 10 π$ rad/s $= 31, 4$ rad/s
2. Número de onda
$λ = v T = 1 \cdot 0, 2 = 0, 2$ m; $k = \frac{2 π}{λ} = \frac{2 π}{0 , 2}$
$k = 10 π$ rad/m $= 31, 4$ rad/m
3. Fase inicial ( $y (0, 0) = + A$ )
$y = A sin (ω t - k x + φ_{0}) \Rightarrow sin φ_{0} = 1$
$φ_{0} = \frac{π}{2}$ rad
Equivale a escribir la onda con coseno y fase nula.

Apartado b

1. Función de onda ( $A = 0, 1$ m)
$y (x, t) = 0, 1 sin (10 π t - 10 π x + \frac{π}{2})$ m
$y (x, t) = 0, 1 cos [10 π (t - x)]$ m
2. Elongación en $x = 0, 2$ m, $t = 0, 4$ s
$φ = 10 π \cdot 0, 4 - 10 π \cdot 0, 2 + \frac{π}{2} = 2 π + \frac{π}{2}$
$y = 0, 1 sin (\frac{π}{2}) = 0, 1$ m
Es la elongación máxima: con $x = λ$ y $t = 2 T$ la fase vuelve al valor inicial.

5.A2 puntos

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3 resultados comprobados en 2 apartados
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Para observar una hormiga de $3$ mm de longitud se usa una lupa de distancia focal $f^{'} = 12$ cm situada a una distancia de $6$ cm respecto a la hormiga.

a)Calcula la posición, respecto a la lupa, a la que se encuentra la imagen y el tamaño con el que veremos la hormiga.
b)Representa el diagrama de rayos, señalando claramente la posición y tamaño de objeto e imagen. Indica cómo es la imagen ¿real o virtual? ¿derecha o invertida?

Apartado a

1. Posición de la imagen ( $s = - 6$ cm, $f^{'} = + 12$ cm)
$\frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{f ^{'}} + \frac{1}{s} = \frac{1}{12} - \frac{1}{6} = - \frac{1}{12}$
$s^{'} = - 12$ cm
Imagen a $12$ cm de la lupa, del mismo lado que la hormiga.
2. Tamaño
$m = \frac{s ^{'}}{s} = \frac{- 12}{- 6} = 2 \Rightarrow y^{'} = 2 \cdot 3$
$y^{'} = 6$ mm

Apartado b

1. Diagrama de rayos y características
Rayo paralelo al eje que sale por el foco imagen, y rayo por el centro óptico; sus prolongaciones se cortan a $12$ cm de la lente, del lado del objeto
Imagen virtual y derecha (y mayor)
$s^{'} < 0$ implica imagen virtual; $m > 0$ , derecha.

5.B1.5 puntos

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El esquema de la figura representa una lente, un objeto y dos rayos (1 y 2) que, procedentes del extremo del objeto (flecha), salen de la lente tal y como se muestra. Determina, a partir de un trazado de rayos, la posición, tamaño de la imagen y aumento, posición de los puntos focales y la potencia de la lente, ¿la imagen es real o virtual?

1. Datos leídos de la cuadrícula (cada cuadro $= 2$ cm)
Objeto de $4$ cm de altura a $8$ cm a la izquierda de la lente ( $s = - 8$ cm)
2. Focos
El rayo (2), paralelo al eje, sale divergiendo y su prolongación hacia atrás corta el eje $8$ cm a la izquierda de la lente; el rayo (1), dirigido al foco objeto, sale paralelo al eje a una altura de $2$ cm: $∣ f^{'} ∣ = 8$ cm
$f^{'} = - 8$ cm: $F^{'}$ a $8$ cm a la izquierda y $F$ a $8$ cm a la derecha
Lente divergente.
3. Potencia
$P = \frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{- 0 , 08}$
$P = - 12, 5$ D
4. Imagen (ecuación de Gauss)
$\frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{f ^{'}} + \frac{1}{s} = - \frac{1}{8} - \frac{1}{8} = - \frac{1}{4} \Rightarrow s^{'} = - 4$ cm; $m = \frac{s ^{'}}{s} = 0, 5 \Rightarrow y^{'} = 2$ cm
Imagen a $4$ cm a la izquierda de la lente, de $2$ cm, derecha y menor
Es virtual: la forman las prolongaciones de los rayos; coincide con el trazado (los rayos 1 y 2 prolongados se cortan a $4$ cm de la lente y a $2$ cm de altura).

6.A1.5 puntos

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Escribe la expresión de la longitud de onda de De Broglie y explica su significado. Calcula la longitud de onda de De Broglie de una bacteria que se mueve a una velocidad de $66 μ$ m/s, sabiendo que la masa de un millón de bacterias es de $1 μ$ g. Dato: constante de Planck, $h = 6, 6 \cdot 1 0^{- 34}$ J s.

1. Expresión y significado
$λ = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}$
Toda partícula en movimiento lleva asociada una onda de materia de longitud $λ$ (dualidad onda-corpúsculo); es apreciable solo cuando $p$ es muy pequeño.
2. Masa de una bacteria
$m = \frac{1 μ g}{1 0 ^{6}} = 1 0^{- 12}$ g $= 1 0^{- 15}$ kg
3. Longitud de onda
$λ = \frac{6 , 6 \cdot 1 0 ^{- 34}}{1 0 ^{- 15} \cdot 66 \cdot 1 0 ^{- 6}}$
$λ = 1 \cdot 1 0^{- 14}$ m
Mucho menor que la bacteria: no hay efectos ondulatorios observables.

6.B1.5 puntos

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En la nucleosíntesis estelar de estrellas masivas, el núcleo de la estrella, al contraerse, provoca la siguiente desintegración: $_{10}^{20} Ne \to_{8}^{16} O + X$ . Determina razonadamente qué partícula es $X$ . En esta reacción se consume una energía de $4, 7$ MeV. Calcula la energía consumida, en julios, cuando se desintegra un mol de núcleos de neón. Datos: número de Avogadro, $N_{A} = 6 \cdot 1 0^{23}$ mol $^{- 1}$ ; carga elemental, $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C.

1. Conservación de $A$ y $Z$
$A = 20 - 16 = 4, Z = 10 - 8 = 2$
$X =_{2}^{4} He$ (partícula alfa)
Desintegración alfa.
2. Energía por núcleo
$E = 4, 7 MeV = 4, 7 \cdot 1 0^{6} \cdot 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$
$E = 7, 52 \cdot 1 0^{- 13}$ J
3. Un mol de núcleos
$E_{m o l} = 7, 52 \cdot 1 0^{- 13} \cdot 6 \cdot 1 0^{23}$
$E_{m o l} = 4, 51 \cdot 1 0^{11}$ J