Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2018 · Ordinaria 2018

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
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Deduce razonadamente la expresión que permite calcular el radio de una órbita circular descrita por un planeta alrededor de una estrella de masa $M$ , conociendo la velocidad orbital del planeta. Supongamos dos planetas cuyas velocidades orbitales alrededor de la misma estrella son $v_{1}$ y $v_{2}$ , siendo $v_{1} > v_{2}$ . ¿Qué planeta tiene el radio orbital mayor? Razona la respuesta.

v₁ > v₂ ⇒ r₁ < r₂ (r = GM/v²)

1. Segunda ley de Newton con fuerza gravitatoria
$\frac{GM m}{r ^{2}} = m \frac{v ^{2}}{r}$
La fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta; la masa $m$ del planeta se simplifica.
2. Radio de la órbita
$r = \frac{GM}{v ^{2}}$
$r = \frac{GM}{v ^{2}}$
3. Comparación
$r_{1} = \frac{GM}{v _{1}^{2}}, r_{2} = \frac{GM}{v _{2}^{2}} \Rightarrow \frac{r _{2}}{r _{1}} = \frac{v _{1}^{2}}{v _{2}^{2}} > 1$
$r_{2} > r_{1}$ : el planeta 2 tiene el radio orbital mayor
El radio es inversamente proporcional al cuadrado de la velocidad: el más lento orbita más lejos.

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Tau Ceti es una estrella que, como nuestro Sol, tiene un sistema planetario. La masa de ese sistema solar es $0, 7$ veces la masa del nuestro. Considerando ambos sistemas como dos masas puntuales separadas una distancia $d$ , calcula el punto donde se anula el campo gravitatorio originado exclusivamente por dichas masas. Calcula primero la posición del punto en función de $d$ y realiza después el cálculo numérico en km sabiendo que $d = 12$ años-luz. Dato: velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$

Punto de campo nulo a 0,545 d del Sol (y 0,455 d de Tau Ceti)

1. Condición de campo nulo (entre las dos masas, a $x$ del Sol)
$\frac{GM}{x ^{2}} = \frac{G 0 , 7 M}{( d - x ) ^{2}}$
Solo puede anularse entre las dos masas, donde los campos tienen sentidos opuestos.
2. Resolvemos
$\frac{d - x}{x} = 0, 7 = 0, 8367 \Rightarrow x = \frac{d}{1 + 0 , 7}$
$x = 0, 5445 d$ (desde el Sol); $d - x = 0, 4555 d$ desde Tau Ceti
3. Distancia en kilómetros
$d = 12 \cdot c \cdot (365 \cdot 86400 s) = 12 \cdot 3 \cdot 1 0^{8} \cdot 3, 1536 \cdot 1 0^{7} = 1, 135 \cdot 1 0^{17} m = 1, 135 \cdot 1 0^{14} km$
4. Posición
$x = 0, 5445 \cdot 1, 135 \cdot 1 0^{14} km$
$x = 6, 18 \cdot 1 0^{13} km$ del Sol
El punto queda algo más cerca de Tau Ceti que del Sol, como cabe esperar al ser menos masiva.

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Una onda sonora de frecuencia $f$ se propaga por un medio (1) con una longitud de onda $λ_{1}$ . En un cierto punto, la onda pasa a otro medio (2) en el que la longitud de onda es $λ_{2} = 2 λ_{1}$ . Determina razonadamente el periodo, el número de onda y la velocidad de propagación en el medio (2) en función de los que tiene la onda en el medio (1).

Misma f: λ₂ = 2λ₁ ⇒ v₂ = 2v₁

1. Qué se conserva al cambiar de medio
La frecuencia la fija el foco emisor; no cambia al pasar de un medio a otro
$f_{2} = f_{1} = f$
2. Periodo
$T_{2} = \frac{1}{f _{2}} = \frac{1}{f _{1}}$
$T_{2} = T_{1}$
3. Número de onda
$k_{2} = \frac{2 π}{λ _{2}} = \frac{2 π}{2 λ _{1}}$
$k_{2} = \frac{k _{1}}{2}$
4. Velocidad de propagación
$v_{2} = λ_{2} f = 2 λ_{1} f$
$v_{2} = 2 v_{1}$
En el medio 2 la onda se propaga el doble de rápido (por ejemplo, del aire al agua el sonido va más rápido).

2.B2 puntos

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La función que representa una onda sísmica es $y (x, t) = 3 sen (\frac{π}{4} t - 4 π x)$ , donde $x$ e $y$ están expresadas en metros y $t$ en segundos. Calcula razonadamente:

a)La amplitud, el periodo, la frecuencia y la longitud de onda.
b)La velocidad de propagación de la onda y la velocidad de vibración de un punto situado a $1 m$ del foco emisor, para $t = 8 s$ .

y(x, t = 8 s) = 3 sen(2π − 4πx): A = 3 m, λ = 0,5 m

Apartado a

1. Comparación con $y = A sen (ω t - k x)$
$A = 3 m, ω = \frac{π}{4} rad/s, k = 4 π rad/m$
2. Periodo y frecuencia
$T = \frac{2 π}{ω} = 8 s, f = \frac{1}{T} = 0, 125 Hz$
3. Longitud de onda
$λ = \frac{2 π}{k} = \frac{2 π}{4 π}$
$λ = 0, 5 m$

Apartado b

1. Velocidad de propagación
$v = λ f = \frac{ω}{k} = \frac{π /4}{4 π}$
$v = 0, 0625 m/s$ (hacia $+ x$ )
El signo relativo de $ω t$ y $k x$ indica propagación hacia $+ x$ .
2. Velocidad de vibración
$v_{y} = \frac{\partial y}{\partial t} = 3 \cdot \frac{π}{4} cos (\frac{π}{4} t - 4 π x)$ ; con $x = 1$ , $t = 8$ : fase $= 2 π - 4 π = - 2 π$
$v_{y} = \frac{3 π}{4} = 2, 36 m/s$
Coincide con la velocidad máxima de vibración, $A ω$ : en ese instante el punto pasa por la posición de equilibrio.

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Utiliza un esquema de trazado de rayos para describir el problema de visión de una persona que sufre de miopía y explica razonadamente el fenómeno. ¿Con qué tipo de lente debe corregirse y por qué?

Miopía: foco delante de la retina; la lente divergente lo retrasa

1. Fenómeno
En el ojo miope los rayos paralelos (objeto lejano) convergen antes de la retina
El ojo es demasiado largo o su cristalino converge demasiado: la imagen se forma delante de la retina y se ve borrosa.
2. Esquema de rayos
Sin corrección: rayos paralelos → cristalino → foco delante de la retina. Con lente divergente: los rayos salen algo abiertos y el conjunto lente + cristalino los enfoca en la retina
3. Corrección
Lente divergente (potencia negativa)
Se corrige con una lente divergente
Retrasa la convergencia: desplaza la imagen desde delante de la retina hasta la retina. Una lente convergente la adelantaría aún más (es la que corrige la hipermetropía).

3.B2 puntos

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La lente convergente de un proyector de diapositivas tiene una potencia de $10 D$ , y se encuentra a una distancia de $10, 2 cm$ de la diapositiva que se proyecta.

a)Calcula razonadamente la distancia a la que habrá que poner la pantalla para tener una imagen nítida.
b)Calcula el tamaño de la imagen y realiza un trazado de rayos para justificar la respuesta.

Objeto a 10,2 cm (apenas pasado el foco): imagen real, invertida y ×50, a 5,1 m (esquema sin escala)

Apartado a

1. Distancia focal
$f^{'} = \frac{1}{P} = \frac{1}{10} = 0, 1 m = 10 cm$
2. Ecuación de las lentes delgadas ( $s = - 10, 2$ cm)
$\frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{f ^{'}} + \frac{1}{s} = \frac{1}{10} - \frac{1}{10 , 2} = 1, 96 \cdot 1 0^{- 3} c m^{- 1}$
$s^{'} = 510 cm = 5, 1 m$
La pantalla debe estar a $5, 1$ m de la lente, a su derecha: imagen real.

Apartado b

1. Aumento lateral
$m = \frac{y ^{'}}{y} = \frac{s ^{'}}{s} = \frac{510}{- 10 , 2}$
$m = - 50$
La imagen es real, invertida y $50$ veces mayor. El tamaño depende de la diapositiva: $∣ y^{'} ∣ = 50 ∣ y ∣$ ; por ejemplo, para una diapositiva de $24$ mm de alto, la imagen mide $1, 2$ m.
2. Trazado de rayos
El objeto está entre $F$ y $2 F$ ( $10 < 10, 2 < 20$ cm): rayo paralelo al eje que sale por el foco imagen, rayo por el centro óptico sin desviarse; se cortan lejos, a la derecha y por debajo del eje
Imagen real, invertida y mucho mayor, como corresponde a un objeto ligeramente más lejos que el foco.

4.A2 puntos

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Atendiendo a la distribución de cargas representada en la figura, calcula: Dato: constante de Coulomb, $k_{e} = 9 \cdot 1 0^{9} N m^{2} / C^{2}$

a)El vector campo eléctrico debido a cada una de las cargas y el total en el punto $P$ . Dibuja todos los vectores.
b)El trabajo mínimo necesario para trasladar una carga $q_{3} = 1 nC$ desde el infinito hasta el punto $P$ . Considera que el potencial eléctrico en el infinito es nulo.

Campos en P: E_1 hacia q_1, E_2 alejándose de q_2 y total E

Apartado a

1. Geometría
$q_{1}$ en $(0, 0)$ ; $P (0, 4)$ ; $q_{2}$ en $x_{2} = \frac{4}{tan 3 0 ^{\circ}} = 6, 93 m$ . Distancias: $r_{1} = 4 m$ , $r_{2} = \frac{4}{sin 3 0 ^{\circ}} = 8 m$
2. Campo de $q_{1}$ (negativa: apunta hacia ella)
$E_{1} = \frac{k ∣ q _{1} ∣}{r _{1}^{2}} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 4 \cdot 1 0 ^{- 6}}{16} = 2250 N/C \Rightarrow E_{1} = - 2250 $
3. Campo de $q_{2}$ (positiva: se aleja de ella)
$E_{2} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 2 \cdot 1 0 ^{- 6}}{64} = 281, 25 N/C$ ; unitario $\overset{u}{^} = \frac{( 0 - 6 , 93 , 4 - 0 )}{8} = (- 0, 866, 0, 5)$
$E_{2} = (- 243, 6  + 140, 6 ) N/C$
4. Campo total
$E = E_{1} + E_{2} = (- 243, 6  - 2109, 4 ) N/C$
$∣ E ∣ = 2123 N/C$
Predomina la carga negativa, más cercana: el campo apunta casi hacia abajo (hacia $q_{1}$ ).

Apartado b

1. Potencial en $P$
$V_{P} = k (\frac{q _{1}}{r _{1}} + \frac{q _{2}}{r _{2}}) = 9 \cdot 1 0^{9} (\frac{- 4 \cdot 1 0 ^{- 6}}{4} + \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 6}}{8})$
$V_{P} = - 6750 V$
2. Trabajo mínimo (agente externo)
$W_{e x t} = q_{3} (V_{P} - V_{\infty}) = 1 0^{- 9} \cdot (- 6750 - 0)$
$W_{e x t} = - 6, 75 \cdot 1 0^{- 6} J$
Es negativo: el campo de las cargas atrae a $q_{3}$ hacia $P$ y es el propio campo quien hace el trabajo ( $+ 6, 75 μ$ J); no hace falta aportar energía.

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La figura representa un conductor rectilíneo de longitud muy grande recorrido por una corriente continua $I_{1} = 2 A$ . Calcula y dibuja el vector campo magnético en un punto $P$ situado a una distancia $d = 1 m$ a la derecha del conductor. En el punto $P$ se sitúa otro conductor rectilíneo paralelo al anterior y recorrido por una corriente $I_{2}$ en sentido opuesto. Representa el vector fuerza que actúa sobre el segundo conductor. Dato: permeabilidad magnética del vacío, $μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7} N/ A^{2}$

B en P entrante (4·10⁻⁷ T) y fuerza repulsiva sobre el segundo hilo

1. Módulo del campo en $P$
$B = \frac{μ _{0} I _{1}}{2 π d} = \frac{4 π \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 2}{2 π \cdot 1}$
$B = 4 \cdot 1 0^{- 7} T$
2. Dirección y sentido (regla de la mano derecha)
$I_{1}$ hacia $+ y$ ; a su derecha el campo es perpendicular al plano y entrante: $B = - 4 \cdot 1 0^{- 7} k T$
Con el pulgar en el sentido de la corriente, los dedos giran en sentido horario visto desde arriba: a la derecha, hacia dentro del papel.
3. Fuerza sobre el segundo conductor ( $I_{2}$ hacia $- y$ )
$F = I_{2} L \times B$ con $L = - L $ : $(- ) \times (- k) = $
$\frac{F}{L} = \frac{μ _{0} I _{1} I _{2}}{2 π d} = 4 \cdot 1 0^{- 7} I_{2} N/m$ hacia $+ x$
La fuerza se aleja del primer conductor: las corrientes antiparalelas se repelen.

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En una experiencia de efecto fotoeléctrico se ilumina un metal con luz monocromática de $500 nm$ y se observa que es necesario aplicar una diferencia de potencial de $0, 2 V$ para anular totalmente la fotocorriente. Calcula la longitud de onda máxima de la radiación incidente para que se produzca el efecto fotoeléctrico en el metal. Datos: constante de Planck, $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} J s$ ; carga elemental, $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$ ; velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$

Ec,max = hf − W₀: la recta corta el eje en f₀ = W₀/h, que corresponde a λ_max = 544 nm

1. Energía cinética máxima (potencial de frenado)
$E_{c, ma x} = e V_{0} = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} \cdot 0, 2$
$E_{c, ma x} = 3, 2 \cdot 1 0^{- 20} J$
2. Energía del fotón incidente
$E_{f} = \frac{h c}{λ} = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{8}}{500 \cdot 1 0 ^{- 9}}$
$E_{f} = 3, 98 \cdot 1 0^{- 19} J$
3. Trabajo de extracción (Einstein)
$W_{0} = E_{f} - E_{c, ma x} = 3, 98 \cdot 1 0^{- 19} - 3, 2 \cdot 1 0^{- 20}$
$W_{0} = 3, 66 \cdot 1 0^{- 19} J = 2, 29 eV$
4. Longitud de onda umbral
$λ_{ma x} = \frac{h c}{W _{0}} = \frac{1 , 989 \cdot 1 0 ^{- 25}}{3 , 66 \cdot 1 0 ^{- 19}}$
$λ_{ma x} = 5, 44 \cdot 1 0^{- 7} m = 544 nm$
Para $λ > 544$ nm los fotones no tienen energía suficiente para arrancar electrones.

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La energía cinética de una partícula es un $50 %$ de su energía en reposo. Calcula su energía relativista total en función de su energía en reposo y calcula también la velocidad de la partícula. Dato: velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$

1. Energía total
$E = E_{0} + E_{c} = E_{0} + 0, 5 E_{0}$
$E = 1, 5 E_{0}$
$E = γ m c^{2}$ , luego $γ = 1, 5$ .
2. Velocidad
$γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}} = 1, 5 \Rightarrow \frac{v ^{2}}{c ^{2}} = 1 - \frac{1}{2 , 25} = 0, 5556$
$v = 0, 745 c = 2, 24 \cdot 1 0^{8} m/s$
Es decir $v = \frac{5}{3} c$ .

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En una prueba médica, se le inyecta a un paciente un radiofármaco constituido por un isótopo radiactivo con periodo de semidesintegración $T = 17, 8 h$ . Para obtener la resolución deseada, en el momento de realizar la prueba la actividad de la sustancia inyectada debe ser de $2 \cdot 1 0^{8} Bq$ (desintegraciones/segundo). Entre la fabricación del radiofármaco y la realización de la prueba pasan $20 h$ . Datos: número de Avogadro, $N_{A} = 6, 02 \cdot 1 0^{23} mo l^{- 1}$ ; masa molar del isótopo, $m_{M} = 74 g/mol$

a)La actividad que debe tener el radiofármaco en el momento de su fabricación.
b)El número inicial de núcleos de dicho isótopo y la masa que se necesita fabricar.

A(t) = A₀e^(−λt): A₀ = 4,36·10⁸ Bq → 2·10⁸ Bq a las 20 h

Apartado a

1. Constante de desintegración
$λ = \frac{ln 2}{T} = \frac{0 , 693}{17 , 8 \cdot 3600 s}$
$λ = 1, 08 \cdot 1 0^{- 5} s^{- 1}$
2. Actividad inicial
$A = A_{0} e^{- λ t} \Rightarrow A_{0} = A e^{λ t} = 2 \cdot 1 0^{8} \cdot 2^{20/17, 8}$
$A_{0} = 4, 36 \cdot 1 0^{8} Bq$
Es algo más del doble: han pasado $1, 12$ semividas.

Apartado b

1. Núcleos iniciales
$N_{0} = \frac{A _{0}}{λ} = \frac{4 , 36 \cdot 1 0 ^{8}}{1 , 08 \cdot 1 0 ^{- 5}}$
$N_{0} = 4, 03 \cdot 1 0^{13} n \overset{u}{ˊ} cleos$
2. Masa a fabricar
$m = \frac{N _{0}}{N _{A}} m_{M} = \frac{4 , 03 \cdot 1 0 ^{13}}{6 , 02 \cdot 1 0 ^{23}} \cdot 74 g$
$m = 4, 95 \cdot 1 0^{- 9} g \approx 5 ng$
Una cantidad minúscula: por eso se trabaja con actividades y no con masas.

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Explica brevemente en qué consisten la radiación alfa y la radiación beta. Halla razonadamente el número atómico y el número másico del elemento producido a partir del $_{84}^{218} Po$ , después de emitir una partícula $α$ y una partícula $β^{-}$ .

1. Radiación alfa
Núcleos de helio $_{2}^{4} He$ (2 protones y 2 neutrones): $Z$ baja en 2 y $A$ en 4
Poco penetrante: la detiene una hoja de papel.
2. Radiación beta menos
Electrones $_{- 1}^{0} e$ procedentes de la transformación de un neutrón en protón: $Z$ sube en 1 y $A$ no cambia
Más penetrante que la alfa; la detiene una lámina de aluminio de unos milímetros.
3. Emisión de $α$
$_{84}^{218} Po \to_{82}^{214} Pb +_{2}^{4} He$
4. Emisión de $β^{-}$
$_{82}^{214} Pb \to_{83}^{214} Bi +_{- 1}^{0} e + \overset{ν}{ˉ}_{e}$
$Z = 83, A = 214$ (bismuto-214)
Se conservan $A$ y $Z$ en cada paso.