Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2018 · Extraordinaria 2018

1.A2 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 2 apartados
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Un planeta, de masa $M = 0, 86 M_{T i er r a}$ y radio un $4 %$ mayor que el de la Tierra, orbita alrededor de la estrella TRAPPIST-1. Calcula:

a)El peso de un astronauta en la superficie del planeta si su peso en la superficie terrestre es $800 N$ .
b)La expresión de la velocidad de escape del planeta. Realiza el cálculo numérico sabiendo que la velocidad de escape de la Tierra es de $11, 2 km/s$ .

Planeta: g = 0,795 g_T y v_e = 10,2 km/s (Tierra: 11,2 km/s)

Apartado a

1. Relación entre las gravedades
$g = \frac{GM}{R ^{2}} \Rightarrow \frac{g _{p}}{g _{T}} = \frac{M _{p}}{M _{T}} (\frac{R _{T}}{R _{p}})^{2} = \frac{0 , 86}{1 , 0 4 ^{2}}$
$\frac{g _{p}}{g _{T}} = 0, 795$
La masa del astronauta es la misma: el peso es proporcional a $g$ .
2. Peso en el planeta
$P_{p} = P_{T} \cdot 0, 795 = 800 \cdot 0, 795$
$P_{p} = 636 N$

Apartado b

1. Velocidad de escape
$\frac{1}{2} m v_{e}^{2} - \frac{GM m}{R} = 0 \Rightarrow v_{e} = \frac{2 GM}{R}$
2. En relación con la Tierra
$\frac{v _{e, p}}{v _{e, T}} = \frac{M _{p}}{M _{T}} \cdot \frac{R _{T}}{R _{p}} = \frac{0 , 86}{1 , 04} = 0, 909$
$v_{e, p} = 0, 909 \cdot 11, 2 = 10, 2 km/s$
Un poco menor que la de la Tierra.

1.B1.5 puntos

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Deduce razonadamente la expresión que relaciona el periodo de una órbita circular con su radio. El radio de la órbita terrestre es de $1, 5 \cdot 1 0^{11} m$ y el de la órbita de Urano es de $2, 9 \cdot 1 0^{12} m$ . Calcula el periodo orbital de Urano, suponiendo que la órbita de los planetas alrededor del Sol es circular.

T² ∝ r³: r_U = 19,3 r_T ⇒ T_U ≈ 85 años

1. Fuerza gravitatoria como fuerza centrípeta
$\frac{GM m}{r ^{2}} = m ω^{2} r = m \frac{4 π ^{2}}{T ^{2}} r$
2. Tercera ley de Kepler
$T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{GM} r^{3} \Rightarrow \frac{T ^{2}}{r ^{3}} = cte$
El cociente solo depende de la masa del Sol.
3. Periodo de Urano (en años terrestres)
$\frac{T _{U}}{T _{T}} = (\frac{r _{U}}{r _{T}})^{3/2} = (\frac{2 , 9 \cdot 1 0 ^{12}}{1 , 5 \cdot 1 0 ^{11}})^{3/2} = 19, 3 3^{1, 5}$
$T_{U} = 85, 0 a \overset{n}{˜} os \approx 2, 7 \cdot 1 0^{9} s$
El valor real es de $84$ años: la aproximación de órbita circular es buena.

2.A1.5 puntos

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La gráfica representa la propagación de una onda armónica de presión, en cierto instante temporal. La frecuencia de la onda es de $100 Hz$ . Determina razonadamente la longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda en el medio.

Dos ciclos en 6 m: λ = 3 m; v = λ·f = 300 m/s

1. Longitud de onda (de la gráfica)
Dos máximos consecutivos están en $x = 0$ y $x = 3 m$ (también dos mínimos en $1, 5$ y $4, 5$ m)
$λ = 3 m$
La longitud de onda es la distancia entre dos puntos en fase; en la gráfica caben exactamente dos ciclos en $6$ m.
2. Velocidad de propagación
$v = λ f = 3 \cdot 100$
$v = 300 m/s$
Del orden de la velocidad del sonido en un gas ligero.

2.B2 puntos

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Una onda transversal se propaga por una cuerda según la ecuación $y (x, t) = 0, 5 cos [5 π (2 t - x)]$ , en unidades del SI. Calcula:

a)La elongación, $y$ , del punto de la cuerda situado en $x_{1} = 40 cm$ en el instante $t_{1} = 1 s$ . ¿Qué distancia mínima hay entre dos puntos de la cuerda con la misma elongación y velocidad en un mismo instante?
b)La velocidad transversal en los dos puntos, $x_{1}$ y $x_{2} = x_{1} + \frac{λ}{4}$ , en el instante $t_{1}$ .

y(x, 1 s) = 0,5 cos(10π − 5πx): x₁ en cresta, x₂ = x₁ + λ/4 en equilibrio

Apartado a

1. Parámetros de la onda
$y = 0, 5 cos (10 π t - 5 π x)$ : $A = 0, 5 m$ , $ω = 10 π rad/s$ ( $T = 0, 2$ s, $f = 5$ Hz), $k = 5 π rad/m$
$λ = \frac{2 π}{k} = 0, 4 m$
2. Elongación en $x_{1} = 0, 4$ m, $t_{1} = 1$ s
$y = 0, 5 cos (10 π \cdot 1 - 5 π \cdot 0, 4) = 0, 5 cos (8 π)$
$y = 0, 5 m$
El punto está en una cresta.
3. Distancia mínima entre puntos con igual elongación y velocidad (igual fase)
Fases que difieren en $2 π$ : $k Δ x = 2 π$
$Δ x = λ = 0, 4 m$

Apartado b

1. Velocidad transversal general
$v_{y} = \frac{\partial y}{\partial t} = - 0, 5 \cdot 10 π sen (10 π t - 5 π x) = - 5 π sen (10 π t - 5 π x)$
2. En $x_{1} = 0, 4$ m
fase $= 8 π \Rightarrow sen (8 π) = 0$
$v_{y} (x_{1}) = 0$
Una cresta está momentáneamente en reposo.
3. En $x_{2} = x_{1} + λ /4 = 0, 5$ m
fase $= 10 π - 2, 5 π = 7, 5 π \Rightarrow sen (7, 5 π) = - 1 \Rightarrow v_{y} = + 5 π$
$v_{y} (x_{2}) = 15, 7 m/s$
Máxima, porque está en la posición de equilibrio, un cuarto de longitud de onda más adelante.

3.A1.5 puntos

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Se tiene una lente convergente en aire. Razona mediante un trazado de rayos dónde habrá que situar un objeto respecto a la lente para que la imagen sea derecha y mayor que el objeto.

Objeto entre F y la lente: imagen virtual, derecha y mayor

1. Condición
La imagen derecha y mayor ( $m > 1$ ) de un objeto real con una lente convergente es virtual
$s < 0$ : $m = \frac{s ^{'}}{s} > 1 \Rightarrow s^{'} < 0$ y $∣ s^{'} ∣ > ∣ s ∣$
Imagen del mismo lado que el objeto.
2. Ecuación de Gauss
$\frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{f ^{'}} + \frac{1}{s}$ con $f^{'} > 0$ y $s < 0$ : $s^{'} < 0 \Leftrightarrow \frac{1}{f ^{'}} < \frac{1}{∣ s ∣} \Leftrightarrow ∣ s ∣ < f^{'}$
El objeto debe estar entre el foco objeto $F$ y la lente: $∣ s ∣ < f^{'}$
Es el funcionamiento de una lupa.
3. Trazado de rayos
Rayo paralelo al eje: sale por el foco imagen; rayo por el centro óptico: sigue recto. Salen divergentes y se cortan al prolongarlos hacia atrás
Imagen virtual, derecha y mayor, del mismo lado que el objeto.

3.B1.5 puntos

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En el fondo de una cubeta, llena de un cierto líquido, se sitúa un pequeño foco luminoso (ver figura adjunta). Se observa que el rayo A se refracta y sale con un ángulo de refracción de $5 8^{\circ}$ , pero el rayo B no se refracta. Determina el índice de refracción, $n$ , del líquido y explica razonadamente el motivo por el cual el rayo B no se refracta. Dato: índice de refracción del aire, $n_{ai r e} = 1, 00$

Rayo A: θ = 35°, refracta a 58° (n = 1,48); rayo B: 45° > 42,6° → reflexión total

1. Ángulo de incidencia del rayo A
$tan θ_{A} = \frac{14}{20} \Rightarrow θ_{A} = 35, 0^{\circ}$
2. Ley de Snell para A
$n sen θ_{A} = n_{ai r e} sen 5 8^{\circ} \Rightarrow n = \frac{0 , 848}{0 , 5736}$
$n = 1, 48$
3. Ángulo de incidencia del rayo B
$tan θ_{B} = \frac{20}{20} = 1 \Rightarrow θ_{B} = 4 5^{\circ}$
4. Ángulo límite
$sen θ_{c} = \frac{n _{ai r e}}{n} = \frac{1}{1 , 48} \Rightarrow θ_{c} = 42, 6^{\circ}$
$θ_{B} = 4 5^{\circ} > θ_{c} = 42, 6^{\circ}$
El rayo B incide con un ángulo mayor que el ángulo límite: no hay rayo refractado y se refleja totalmente (reflexión total interna).

4.A1.5 puntos

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Por dos conductores rectilíneos, paralelos e indefinidos circulan corrientes continuas de intensidades $I_{1}$ e $I_{2}$ , siendo $I_{2} = 2 I_{1}$ (ver figura adjunta). Calcula la fuerza que actúa sobre una carga $q$ que pasa por el punto $P$ con una velocidad $v = 2  m/s$ . Dato: permeabilidad magnética del vacío, $μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7} T m/A$

En P: B_1 = B_2 con sentidos opuestos ⇒ B total = 0 ⇒ F = 0

1. Distancias a $P$
$r_{1} = 3 cm = 0, 03 m, r_{2} = 3 + 3 = 6 cm = 0, 06 m$
2. Campo de $I_{1}$ (hacia arriba; $P$ a su izquierda)
$B_{1} = \frac{μ _{0} I _{1}}{2 π r _{1}} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} I _{1}}{0 , 03} = 6, 67 \cdot 1 0^{- 6} I_{1} T$
A la izquierda de una corriente ascendente el campo sale del papel: $+ k$ .
3. Campo de $I_{2} = 2 I_{1}$ (hacia abajo; $P$ a su izquierda)
$B_{2} = \frac{μ _{0} \cdot 2 I _{1}}{2 π r _{2}} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 2 I _{1}}{0 , 06} = 6, 67 \cdot 1 0^{- 6} I_{1} T$
A la izquierda de una corriente descendente el campo entra en el papel: $- k$ .
4. Campo total y fuerza
$B = B_{1} + B_{2} = (6, 67 - 6, 67) \cdot 1 0^{- 6} I_{1} k = 0 \Rightarrow F = q v \times B = 0$
$F = 0$
Los dos campos tienen el mismo módulo y sentidos opuestos: la intensidad $2 I_{1}$ compensa la distancia doble. Por eso no hace falta conocer $I_{1}$ ni $q$ .

4.B2 puntos

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En los puntos $A (0, 0)$ m, $B (0, 2)$ m y $C (2, 2)$ m se sitúan tres cargas eléctricas iguales, de valor $- 3 μ C$ . Dato: constante de Coulomb, $k_{e} = 9 \cdot 1 0^{9} N m^{2} / C^{2}$

a)Dibuja, en el punto $D (1, 1)$ , los vectores campo eléctrico generados por cada una de las cargas y calcula el vector campo eléctrico resultante.
b)Calcula el trabajo realizado en el desplazamiento de una carga eléctrica puntual de $1 μ C$ entre los puntos $D (1, 1)$ m y $E (2, 0)$ m, razonando si se puede mover espontáneamente la carga dicho desplazamiento.

Campos de cada carga en D(1, 1) y campo resultante hacia B

Apartado a

1. Módulo del campo de cada carga ( $r = 2$ m)
$E = \frac{k ∣ q ∣}{r ^{2}} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{- 6}}{2} = 13500 N/C$
Las tres cargas son negativas: los campos apuntan hacia ellas.
2. Vectores en $D (1, 1)$
$E_{A} = 13500 \cdot \frac{( - 1 , - 1 )}{2} = (- 9546, - 9546), E_{B} = 13500 \cdot \frac{( - 1 , 1 )}{2} = (- 9546, + 9546), E_{C} = 13500 \cdot \frac{( 1 , 1 )}{2} = (+ 9546, + 9546) N/C$
3. Campo resultante
$E = E_{A} + E_{B} + E_{C} = (- 9546  + 9546 ) N/C$
$∣ E ∣ = 13500 N/C$
Dirección a $13 5^{\circ}$ del eje $X$ (hacia $B$ ): dos campos se anulan en parte y queda el efecto de una carga.

Apartado b

1. Potencial en $D$
$V_{D} = 3 \cdot \frac{k q}{2} = 3 \cdot \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot ( - 3 \cdot 1 0 ^{- 6} )}{1 , 414}$
$V_{D} = - 5, 73 \cdot 1 0^{4} V$
2. Potencial en $E (2, 0)$ (distancias $2$ , $22$ y $2$ m)
$V_{E} = k q (\frac{1}{2} + \frac{1}{2 2} + \frac{1}{2}) = - 27000 \cdot 1, 3536$
$V_{E} = - 3, 65 \cdot 1 0^{4} V$
3. Trabajo del campo
$W_{D \to E} = q (V_{D} - V_{E}) = 1 0^{- 6} (- 57276 + 36546)$
$W = - 2, 07 \cdot 1 0^{- 2} J$
El campo realiza un trabajo negativo: una carga positiva tiende a ir hacia potenciales menores, y $V_{E} > V_{D}$ . No puede moverse espontáneamente; hay que aportarle energía desde fuera.

5.A1.5 puntos

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Razona cuál debe ser la velocidad $v_{μ}$ de un muon, para que su longitud de onda asociada (de De Broglie) sea igual que la de un electrón que se mueve a una velocidad $v_{e} = 0, 025 c$ . La masa del muon es $207$ veces la del electrón. Considera que las velocidades son no relativistas. Deja el resultado en función de la velocidad de la luz en el vacío $c$ .

1. Longitud de onda de De Broglie
$λ = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}$
2. Igualdad de longitudes de onda
$\frac{h}{m _{μ} v _{μ}} = \frac{h}{m _{e} v _{e}} \Rightarrow m_{μ} v_{μ} = m_{e} v_{e}$
Misma longitud de onda equivale a mismo momento lineal.
3. Despejamos $v_{μ}$
$v_{μ} = \frac{m _{e}}{m _{μ}} v_{e} = \frac{0 , 025 c}{207}$
$v_{μ} = 1, 21 \cdot 1 0^{- 4} c \approx 3, 6 \cdot 1 0^{4} m/s$
Es mucho menor que $c$ : la hipótesis no relativista es coherente.

5.B1.5 puntos

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La energía cinética relativista de un electrón es el doble de su energía en reposo. Calcula su energía total y su velocidad en unidades del SI. Dato: velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$ ; masa del electrón, $m = 9, 1 \cdot 1 0^{- 31} kg$

1. Energía en reposo
$E_{0} = m c^{2} = 9, 1 \cdot 1 0^{- 31} \cdot (3 \cdot 1 0^{8})^{2}$
$E_{0} = 8, 19 \cdot 1 0^{- 14} J (0, 511 MeV)$
2. Energía total
$E = E_{0} + E_{c} = E_{0} + 2 E_{0} = 3 E_{0}$
$E = 2, 46 \cdot 1 0^{- 13} J (1, 53 MeV)$
$γ = E / E_{0} = 3$ .
3. Velocidad
$γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}} = 3 \Rightarrow \frac{v ^{2}}{c ^{2}} = \frac{8}{9}$
$v = \frac{2 2}{3} c = 2, 83 \cdot 1 0^{8} m/s$
Es el $94, 3 %$ de $c$ .

6.A2 puntos

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Se ha descubierto una antigua silla egipcia de madera que se desea datar. Se mide la actividad de una muestra debido al $^{14} C$ presente en la silla y se obtiene que es de $260$ desintegraciones/día, frente a las $18$ desintegraciones/hora que produce una muestra similar de madera recién talada. Dato: periodo de semidesintegración del $^{14} C$ , $T = 5730$ años

a)Calcula las actividades de las muestras en becquerelios (desintegraciones por segundo). Determina la edad de la silla y establece si pudo pertenecer a la reina Hetepheres I que vivió en la cuarta dinastía entre los años $2575$ a.C. y $2551$ a.C.
b)Calcula la actividad de la muestra de la silla dentro de $2000$ años y el porcentaje de núcleos de $^{14} C$ que se han desintegrado desde que se fabricó la silla.

A/A₀ = 0,602 ⇒ t ≈ 4200 años (T = 5730 años)

Apartado a

1. Actividades en Bq
$A = \frac{260}{86400} = 3, 01 \cdot 1 0^{- 3} Bq, A_{0} = \frac{18}{3600} = 5, 00 \cdot 1 0^{- 3} Bq$
2. Edad de la silla
$A = A_{0} e^{- λ t} \Rightarrow t = \frac{T}{ln 2} ln \frac{A _{0}}{A} = \frac{5730}{0 , 693} ln \frac{5 , 00}{3 , 01}$
$t \approx 4, 2 \cdot 1 0^{3}$ años (4197 años)
La silla se fabricó hacia el año $2018 - 4197 \approx 2179$ a.C.
3. ¿Pudo ser de Hetepheres I?
La reina vivió entre $2575$ y $2551$ a.C.; la silla es unos $370$ años más reciente
No pudo pertenecer a la reina
La datación de la madera da una fecha posterior en unos tres siglos y medio (la precisión del método y la calibración añaden incertidumbre, pero no tanta).

Apartado b

1. Actividad dentro de $2000$ años
$A (2000) = A_{h oy} 2^{- 2000/5730} = 3, 01 \cdot 1 0^{- 3} \cdot 0, 785$
$A \approx 2, 36 \cdot 1 0^{- 3} Bq$
2. Porcentaje de núcleos desintegrados desde que se fabricó
$\frac{N}{N _{0}} = \frac{A}{A _{0}} = \frac{3 , 01}{5 , 00} = 0, 602 \Rightarrow % desintegrado = (1 - 0, 602) \cdot 100$
$\approx 39, 8 %$
Hasta hoy. Dentro de $2000$ años más sería el $52, 8 %$ ( $A / A_{0} = 0, 472$ ).

6.B1.5 puntos

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Completa la reacción (determinando $Z$ y $X$ ) sabiendo que la partícula emitida sigue la trayectoria representada en la gráfica cuando pasa por un campo eléctrico uniforme. ¿De qué tipo de desintegración y partícula se trata? $_{6}^{14} C \to_{Z}^{14} N + X$

Se desvía hacia la placa +: carga negativa ⇒ electrón (β⁻)

1. Naturaleza de la partícula
La trayectoria se curva hacia la placa positiva
La partícula tiene carga negativa
Una partícula negativa es atraída por la placa $+$ y repelida por la $-$ .
2. Conservación del número másico y de la carga
$A$ : $14 = 14 + A_{X} \Rightarrow A_{X} = 0$ ; carga: $6 = Z + q_{X} \Rightarrow Z = 7$ si $q_{X} = - 1$
$Z = 7$ ; $X =_{- 1}^{0} e$ (electrón)
3. Tipo de desintegración
$_{6}^{14} C \to_{7}^{14} N +_{- 1}^{0} e + \overset{ν}{ˉ}_{e}$
Desintegración $β^{-}$
Un neutrón del núcleo se convierte en un protón, un electrón y un antineutrino.