Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2017 · Ordinaria 2017

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
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Calcula razonadamente la velocidad de escape desde la superficie de un planeta cuyo radio es $2$ veces el de la Tierra y su masa es $8$ veces la de la Tierra. Dato: velocidad de escape desde la superficie de la Tierra, $v = 11, 2 km/s$ .

1. Velocidad de escape
$\frac{1}{2} m v_{e}^{2} - \frac{GM m}{R} = 0 \Rightarrow v_{e} = \frac{2 GM}{R}$
2. Cociente con la Tierra
$\frac{v _{p}}{v _{T}} = \frac{M _{p}}{M _{T}} \cdot \frac{R _{T}}{R _{p}} = \frac{8}{2} = 2$
$v_{p} = 2 \cdot 11, 2 = 22, 4 km/s$
Se obtiene sin conocer $G$ ni $M_{T}$ : basta la proporción.

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Un esquiador puede utilizar dos rutas diferentes para descender entre un punto inicial y otro final. La ruta 1 es rectilínea y la 2 es sinuosa y presenta cambios de pendiente. ¿Es distinto el trabajo debido a la fuerza gravitatoria sobre el esquiador según el camino elegido? Justifica la respuesta.

Ruta 1 (recta) y ruta 2 (sinuosa): W = mg(h_A − h_B) en ambas

1. Carácter de la fuerza gravitatoria
La fuerza gravitatoria es conservativa: deriva de una energía potencial $E_{p}$
2. Trabajo de una fuerza conservativa
$W_{A \to B} = - Δ E_{p} = E_{p} (A) - E_{p} (B)$
Solo depende de los puntos inicial y final, no de la trayectoria.
3. Aplicación al esquiador
$W_{1} = W_{2} = m g (h_{A} - h_{B})$
El trabajo del peso es el mismo en ambas rutas
Lo que sí cambian de una ruta a otra son el rozamiento y el tiempo, que no son conservativos o no tienen que ver con la gravedad. El trabajo por el camino cerrado (ida y vuelta) sería cero.

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Explica la diferencia existente entre la velocidad de propagación de una onda y la velocidad de oscilación de un punto de dicha onda.

v (propagación, hacia +x) frente a v_y (oscilación de un punto, vertical)

1. Velocidad de propagación
$v = \frac{λ}{T} = \frac{ω}{k}$
Es la rapidez con la que avanza la perturbación (la forma de la onda). Es constante: depende solo de las propiedades del medio, y su dirección es la de propagación.
2. Velocidad de oscilación (vibración)
$v_{y} = \frac{\partial y}{\partial t} = A ω cos (ω t - k x)$
Es la velocidad con la que cada partícula del medio se mueve alrededor de su posición de equilibrio. Varía con el tiempo y con la posición entre $- A ω$ y $+ A ω$ y puede tener otra dirección (perpendicular, en ondas transversales).
3. Ejemplo
Onda en una cuerda: la cresta avanza con $v$ constante, pero cada punto de la cuerda sube y baja con velocidad variable
Las partículas no viajan con la onda: solo se transmite energía.

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Una onda sonora de frecuencia $f$ se propaga por un medio (1) con velocidad $v_{1}$ . En un cierto punto, la onda pasa a otro medio (2) en el que la velocidad de propagación es $v_{2} = v_{1} /2$ . Determina razonadamente los valores de la frecuencia, el periodo y la longitud de onda en el medio (2) en función de los que tiene la onda en el medio (1).

Misma f y T: λ₂ = λ₁/2 porque v₂ = v₁/2

1. Frecuencia
La frecuencia la impone el foco y no cambia al cambiar de medio: $f_{2} = f_{1} = f$
$f_{2} = f$
2. Periodo
$T_{2} = \frac{1}{f _{2}} = \frac{1}{f}$
$T_{2} = T_{1}$
3. Longitud de onda
$λ_{2} = \frac{v _{2}}{f} = \frac{v _{1} /2}{f}$
$λ_{2} = \frac{λ _{1}}{2}$
La onda es más corta en el medio donde va más lenta.

3.A2 puntos

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Una placa de vidrio se sitúa horizontalmente sobre la superficie del agua contenida en un depósito, de forma que la parte superior de la placa está en contacto con el aire, tal como muestra la figura. Un rayo de luz incide desde el aire a la cara superior del vidrio formando un ángulo $α = 6 0^{\circ}$ con la vertical. Datos: índice de refracción del agua $n_{a g u a} = 1, 3$ ; índice de refracción del aire: $n_{ai r e} = 1$ ; índice de refracción del vidrio: $n_{v i d r i o} = 1, 5$ .

a)Calcula el ángulo de refracción del rayo de luz al pasar del vidrio al agua.
b)Deduce la expresión de la distancia ( $A B$ ) de desviación del rayo de luz tras atravesar el vidrio, y calcula su valor numérico. La placa de vidrio tiene un espesor $d = 20 mm$ .

60° (aire) → 35,3° (vidrio) → 41,8° (agua); AB = d tan 35,3° = 14,1 mm

Apartado a

1. Ley de Snell en la primera cara (aire → vidrio)
$n_{ai r e} sen α = n_{v} sen θ_{v} \Rightarrow sen θ_{v} = \frac{sen 6 0 ^{\circ}}{1 , 5} = 0, 5774$
$θ_{v} = 35, 2 6^{\circ}$
2. Segunda cara (vidrio → agua)
$n_{v} sen θ_{v} = n_{a g u a} sen θ_{a} \Rightarrow sen θ_{a} = \frac{1 \cdot sen 6 0 ^{\circ}}{1 , 3} = 0, 6662$
$θ_{a} = 41, 8^{\circ}$
El vidrio no influye en el ángulo final: $n_{ai r e} sen α = n_{a g u a} sen θ_{a}$ .

Apartado b

1. Desviación lateral dentro del vidrio
$A B = d tan θ_{v} = d \frac{sen α}{n _{v}^{2} - sen ^{2} α}$
Es el desplazamiento horizontal del rayo al atravesar la placa de espesor $d$ con ángulo $θ_{v}$ respecto a la vertical.
2. Valor numérico
$A B = 20 mm \cdot tan 35, 2 6^{\circ} = 20 \cdot 0, 7071$
$A B = 14, 1 mm$

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Se sitúa un objeto de $5 cm$ de tamaño a una distancia de $20 cm$ de una lente delgada convergente de distancia focal $10 cm$ , como muestra la figura.

a)Indica las características de la imagen a partir del trazado de rayos.
b)Calcula el tamaño y la posición de la imagen y la potencia de la lente.

Objeto en 2F: imagen real, invertida, del mismo tamaño en 2F′ (cm)

Apartado a

1. Trazado de rayos
El objeto está en $s = - 20$ cm $= - 2 f$ : rayo paralelo → foco imagen; rayo por el centro óptico sin desviar; se cortan a la derecha de la lente, por debajo del eje
Imagen real, invertida y del mismo tamaño que el objeto (a $2 f$ al otro lado).

Apartado b

1. Posición de la imagen
$\frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{f ^{'}} + \frac{1}{s} = \frac{1}{10} - \frac{1}{20} = \frac{1}{20}$
$s^{'} = 20 cm$
A la derecha de la lente (imagen real).
2. Tamaño de la imagen
$m = \frac{s ^{'}}{s} = \frac{20}{- 20} = - 1 \Rightarrow y^{'} = - 5 cm$
$y^{'} = - 5 cm$
Invertida y del mismo tamaño.
3. Potencia
$P = \frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{0 , 10 m}$
$P = 10 D$

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Una partícula de carga $q = 3 μ C$ que se mueve con velocidad $v = 2 \cdot 1 0^{3}  m/s$ entra en una región del espacio en la que hay un campo eléctrico uniforme $E = - 3  N/C$ y también un campo magnético uniforme $B = 4 k mT$ . Calcula el vector fuerza total que actúa sobre esa partícula y representa todos los vectores involucrados (haz coincidir el plano $X Y$ con el del papel).

E hacia −y, B saliente: F_e y F_m hacia −y; F total = −3,3·10⁻⁵ j N

1. Fuerza eléctrica
$F_{e} = q E = 3 \cdot 1 0^{- 6} \cdot (- 3 )$
$F_{e} = - 9 \cdot 1 0^{- 6}  N$
2. Fuerza magnética
$F_{m} = q v \times B = 3 \cdot 1 0^{- 6} \cdot (2 \cdot 1 0^{3} ) \times (4 \cdot 1 0^{- 3} k) = 3 \cdot 1 0^{- 6} \cdot 8 ( \times k)$
$F_{m} = - 2, 4 \cdot 1 0^{- 5}  N$
Como $ \times k = - $ .
3. Fuerza total (Lorentz)
$F = F_{e} + F_{m} = (- 0, 9 - 2, 4) \cdot 1 0^{- 5} $
$F = - 3, 3 \cdot 1 0^{- 5}  N$
Las dos fuerzas apuntan hacia abajo ( $- $ ) y se suman. Dibujo: $v$ hacia la derecha, $B$ saliente (hacia el lector), $E$ y las tres fuerzas hacia abajo.

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Un electrón se mueve dentro de un campo eléctrico uniforme $E = - E $ . El electrón parte del reposo desde el punto $A$ , de coordenadas $(0, 1)$ m, y llega al punto $B$ con una velocidad de $1 0^{6} m/s$ después de recorrer $1 m$ . Datos: carga elemental, $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$ ; masa del electrón, $m_{e} = 9, 1 \cdot 1 0^{- 31} kg$

a)Indica la trayectoria que seguirá el electrón y las coordenadas del punto $B$ .
b)Calcula razonadamente el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre la carga desde $A$ hasta $B$ y el valor del campo eléctrico.

E hacia −x; el electrón acelera hacia +x de A(0, 1) a B(1, 1)

Apartado a

1. Fuerza sobre el electrón
$F = q E = (- e) (- E ) = + e E $
El electrón (carga negativa) es empujado en sentido contrario al campo.
2. Trayectoria y punto $B$
Parte del reposo con aceleración constante y en la dirección del eje $X$ : movimiento rectilíneo uniformemente acelerado a lo largo de la recta $y = 1$
$B = (1, 1) m$
Recorre $1$ m en el sentido $+ X$ desde $A (0, 1)$ .

Apartado b

1. Trabajo del campo (teorema de la energía cinética)
$W = Δ E_{c} = \frac{1}{2} m_{e} v^{2} - 0 = \frac{1}{2} \cdot 9, 1 \cdot 1 0^{- 31} \cdot (1 0^{6})^{2}$
$W = 4, 55 \cdot 1 0^{- 19} J$
2. Campo eléctrico
$W = F d = e E d \Rightarrow E = \frac{W}{e d} = \frac{4 , 55 \cdot 1 0 ^{- 19}}{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19} \cdot 1}$
$E = 2, 84 N/C$
Equivale a $V / m$ . Diferencia de potencial entre $A$ y $B$ : $Δ V = E d = 2, 84$ V.

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Calcula la energía total en kilovatios-hora ( $kW \cdot h$ ) que se obtiene como resultado de la fisión de $2 g$ de $^{235} U$ , suponiendo que todos los núcleos se fisionan y que en cada reacción se liberan $200 MeV$ . Datos: número de Avogadro, $N_{A} = 6 \cdot 1 0^{23}$ ; carga elemental, $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$ .

1. Número de núcleos
$N = \frac{2 g}{235 g/mol} \cdot 6 \cdot 1 0^{23}$
$N = 5, 11 \cdot 1 0^{21}$ núcleos
2. Energía por fisión en julios
$200 MeV = 200 \cdot 1 0^{6} \cdot 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$
$3, 2 \cdot 1 0^{- 11} J$
3. Energía total
$E = N \cdot E_{1} = 5, 11 \cdot 1 0^{21} \cdot 3, 2 \cdot 1 0^{- 11}$
$E = 1, 63 \cdot 1 0^{11} J$
4. En kW·h ( $1 kW \cdot h = 3, 6 \cdot 1 0^{6} J$ )
$E = \frac{1 , 63 \cdot 1 0 ^{11}}{3 , 6 \cdot 1 0 ^{6}}$
$E = 4, 54 \cdot 1 0^{4} kW \cdot h$
Unos $45000$ kW·h, el consumo eléctrico de unas 13 viviendas durante un año.

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La gráfica de la derecha representa el número de núcleos radiactivos de una muestra en función del tiempo en años. Utilizando los datos de la gráfica, deduce razonadamente el periodo de semidesintegración de la muestra y determina el número de periodos de semidesintegración necesarios para que sólo queden $250$ núcleos por desintegrar.

N(t): 1000 → 500 (5 años) → 250 (10 años): T½ = 5 años, n = 2

1. Periodo de semidesintegración (de la gráfica)
$N (0) = 1000$ ; $N$ vale $500$ en $t = 5$ años
$T_{1/2} = 5$ años
El periodo de semidesintegración es el tiempo en que el número de núcleos se reduce a la mitad.
2. Periodos necesarios
$N = N_{0} (\frac{1}{2})^{n} \Rightarrow 250 = 1000 (\frac{1}{2})^{n} \Rightarrow (\frac{1}{2})^{n} = \frac{1}{4}$
$n = 2$ periodos
Equivale a $t = 2 \cdot 5 = 10$ años; en la gráfica, a los $10$ años quedan $\approx 250$ núcleos.

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El cátodo de una célula fotoeléctrica tiene una longitud de onda umbral de $750 nm$ . Sobre su superficie incide un haz de luz de longitud de onda $250 nm$ . Calcula: Datos: constante de Planck, $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} J \cdot s$ ; masa del electrón, $m_{e} = 9, 1 \cdot 1 0^{- 31} kg$ ; velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 1 0^{8} m s^{- 1}$ ; carga elemental, $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$

a)La velocidad máxima de los fotoelectrones emitidos desde el cátodo.
b)La diferencia de potencial que hay que aplicar para anular la corriente producida en la fotocélula.

Ec = hc(1/λ − 1/λ₀) = 3,3 eV ⇒ V₀ = 3,32 V

Apartado a

1. Ecuación de Einstein
$E_{c} = h f - W_{0} = h c (\frac{1}{λ} - \frac{1}{λ _{0}}) = 1, 989 \cdot 1 0^{- 25} (\frac{1}{250 \cdot 1 0 ^{- 9}} - \frac{1}{750 \cdot 1 0 ^{- 9}})$
$E_{c} = 5, 30 \cdot 1 0^{- 19} J$
$W_{0} = h c / λ_{0} = 2, 65 \cdot 1 0^{- 19}$ J ( $1, 66$ eV) y $E_{f} = 7, 96 \cdot 1 0^{- 19}$ J.
2. Velocidad máxima
$v = \frac{2 E _{c}}{m _{e}} = \frac{2 \cdot 5 , 30 \cdot 1 0 ^{- 19}}{9 , 1 \cdot 1 0 ^{- 31}}$
$v_{ma x} = 1, 08 \cdot 1 0^{6} m/s$

Apartado b

1. Potencial de frenado
$e V_{0} = E_{c} \Rightarrow V_{0} = \frac{5 , 30 \cdot 1 0 ^{- 19}}{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19}}$
$V_{0} = 3, 32 V$
Es la diferencia de potencial que detiene incluso a los electrones más rápidos.

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Indica razonadamente qué partícula se emite en cada uno de los pasos de la siguiente serie radiactiva, e identifícala con algún tipo de desintegración. $_{90}^{231} Th \to_{91}^{231} Pa \to_{89}^{227} Ac$

1. Primer paso
$_{90}^{231} Th \to_{91}^{231} Pa +_{- 1}^{0} e + \overset{ν}{ˉ}_{e}$ : $A$ no cambia y $Z$ aumenta en 1
Se emite un electrón: desintegración $β^{-}$
Un neutrón se transforma en protón.
2. Segundo paso
$_{91}^{231} Pa \to_{89}^{227} Ac +_{2}^{4} He$ : $A$ baja en 4 y $Z$ en 2
Se emite un núcleo de helio: desintegración $α$
Se conservan $A$ y $Z$ en ambos pasos.