Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2017 · Extraordinaria 2017

1.A1.5 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
1 resultado comprobado en 1 apartado
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Deduce la expresión de la velocidad de un planeta en órbita circular alrededor del Sol, en función de la masa del Sol y del radio de la órbita. Suponiendo que Marte sigue una órbita circular, con un radio de $2, 3 \cdot 1 0^{8} km$ , a una velocidad $v = 8, 7 \cdot 1 0^{4} km/h$ , calcula de forma razonada la masa del Sol. Dato: constante de gravitación universal, $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} N m^{2} /k g^{2}$

Órbita de Marte: r = 2,3·10¹¹ m, v = 2,42·10⁴ m/s ⇒ M = v²r/G

1. Velocidad orbital
$\frac{GM m}{r ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{r} \Rightarrow v = \frac{GM}{r}$
2. Masa del Sol
$M = \frac{v ^{2} r}{G}$ con $v = \frac{8 , 7 \cdot 1 0 ^{4}}{3 , 6} = 2, 417 \cdot 1 0^{4} m/s$ y $r = 2, 3 \cdot 1 0^{11} m$
$M = \frac{( 2 , 417 \cdot 1 0 ^{4} ) ^{2} \cdot 2 , 3 \cdot 1 0 ^{11}}{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11}} = 2, 01 \cdot 1 0^{30} kg$
Coincide con la masa real del Sol, $1, 99 \cdot 1 0^{30}$ kg.

1.B1.5 puntos

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Determina razonadamente la relación $g_{M} / g_{T}$ , donde $g_{M}$ es la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de Marte y $g_{T}$ la de la Tierra, sabiendo que la masa de Marte es $0, 11$ veces la de la Tierra y que su radio es $0, 53$ veces el terrestre. Un cuerpo que en la Tierra pesa $2, 6 N$ , ¿cuánto pesará en Marte?

1. Relación de intensidades
$g = \frac{GM}{R ^{2}} \Rightarrow \frac{g _{M}}{g _{T}} = \frac{M _{M}}{M _{T}} (\frac{R _{T}}{R _{M}})^{2} = \frac{0 , 11}{0 , 5 3 ^{2}}$
$\frac{g _{M}}{g _{T}} = 0, 392$
2. Peso en Marte
$P_{M} = P_{T} \cdot 0, 392 = 2, 6 \cdot 0, 392$
$P_{M} = 1, 02 N$
La masa del cuerpo es la misma; solo cambia su peso.

2.A1.5 puntos

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¿En qué consiste el efecto Doppler? Explícalo razonadamente mediante un ejemplo.

Efecto Doppler: delante del foco λ menor (f mayor); detrás λ mayor (f menor)

1. Definición
Cambio aparente de la frecuencia (y de la longitud de onda) de una onda percibida por un observador cuando hay movimiento relativo entre el foco emisor y el observador
2. Explicación
Si el foco se acerca, los frentes de onda llegan más juntos: $λ$ menor y $f$ mayor. Si se aleja, los frentes llegan más separados: $f$ menor
Para sonido y observador en reposo: $f_{o} = f \frac{v}{v \mp v _{F}}$ (signo $-$ si el foco se acerca).
3. Ejemplo
Una ambulancia con sirena de $f = 700$ Hz que se acerca a $20$ m/s se oye más aguda: $f_{o} = 700 \cdot \frac{340}{340 - 20} = 744$ Hz; al alejarse se oye más grave: $f_{o} = 700 \cdot \frac{340}{360} = 661$ Hz
Sonido más agudo al acercarse y más grave al alejarse

2.B2 puntos

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La onda armónica $y (x, t) = A sen (ω t + k x + ϕ)$ se propaga con una velocidad de $1 m/s$ en el sentido negativo del eje $X$ y tiene una amplitud de $(1/ π)$ metros y un periodo de $0, 1 s$ . La velocidad del punto $x = 0$ para $t = 0$ es $20 m/s$ .

a)Determina razonadamente la longitud de onda, la frecuencia y la fase en unidades del SI.
b)Escribe la función de onda $y (x, t)$ utilizando los resultados anteriores y calcula su valor en el punto $x = 0, 1 m$ para $t = 0, 2 s$ .

y(x, 0) = (1/π) sen(20πx): A = 0,318 m, λ = 0,1 m, se propaga hacia −x

Apartado a

1. Frecuencia, pulsación y longitud de onda
$f = \frac{1}{T} = 10 Hz, ω = 2 π f = 20 π rad/s, λ = v T = 1 \cdot 0, 1 = 0, 1 m, k = \frac{2 π}{λ} = 20 π rad/m$
2. Fase inicial
$v_{y} = \frac{\partial y}{\partial t} = A ω cos (ω t + k x + ϕ)$ ; en $x = 0$ , $t = 0$ : $\frac{1}{π} \cdot 20 π cos ϕ = 20 cos ϕ = 20 \Rightarrow cos ϕ = 1$
$ϕ = 0$
Se cumple además $y (0, 0) = A sen 0 = 0$ .

Apartado b

1. Función de onda
$y (x, t) = \frac{1}{π} sen (20 π t + 20 π x) m$
El signo $+$ entre $ω t$ y $k x$ indica propagación hacia $- X$ .
2. Valor en $x = 0, 1$ m, $t = 0, 2$ s
$y = \frac{1}{π} sen [20 π (0, 2 + 0, 1)] = \frac{1}{π} sen (6 π)$
$y = 0$
El punto pasa por la posición de equilibrio.

3.A2 puntos

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Se utiliza una lente delgada para proyectar sobre una pantalla la imagen de un objeto. Esta lente se sitúa entre el objeto y la pantalla. La distancia entre el objeto y la imagen es de $6 m$ y se pretende que ésta sea real, invertida y $3$ veces mayor que el objeto.

a)Realiza un trazado de rayos donde se señale la posición de los tres elementos y el tamaño, tanto del objeto como de la imagen. ¿Qué tipo de lente debe usarse?
b)Calcula la distancia focal y la posición de la lente respecto a la pantalla.

Objeto a 1,5 m, imagen a 4,5 m (×3, invertida): f′ = 1,125 m

Apartado a

1. Tipo de lente
Una imagen real e invertida de un objeto real solo la da una lente convergente; el objeto queda más allá del foco
Lente convergente
Trazado: rayo paralelo → foco imagen; rayo por el centro sin desviar; se cortan en la pantalla, bajo el eje y con tamaño triple.

Apartado b

1. Condiciones
$m = \frac{s ^{'}}{s} = - 3 \Rightarrow s^{'} = - 3 s$ ; distancia objeto-imagen: $s^{'} - s = 6$
$- 4 s = 6 \Rightarrow s = - 1, 5 m, s^{'} = 4, 5 m$
La lente está a $1, 5$ m del objeto y a $4, 5$ m de la pantalla.
2. Distancia focal (ecuación de Gauss)
$\frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{s ^{'}} - \frac{1}{s} = \frac{1}{4 , 5} + \frac{1}{1 , 5} = 0, 889 m^{- 1}$
$f^{'} = 1, 125 m$ (potencia $0, 89$ D)

3.B1.5 puntos

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Describe qué problema de visión tiene una persona que sufre miopía. Explica razonadamente, empleando un diagrama de rayos, en qué consiste este problema, así como el tipo de lente que debe emplearse para su corrección.

Miopía: foco delante de la retina; se corrige con lente divergente

1. Problema
El ojo miope forma la imagen de los objetos lejanos delante de la retina
El globo ocular es demasiado largo o el cristalino converge demasiado: ve nítido lo cercano y borroso lo lejano (el punto remoto está a distancia finita).
2. Diagrama de rayos
Rayos paralelos → cristalino → foco antes de la retina; con una lente divergente delante del ojo, los rayos entran algo divergentes y el foco se retrasa hasta la retina
3. Lente correctora
Lente divergente (potencia negativa)
Se corrige con una lente divergente
Su focal imagen virtual se coloca en el punto remoto del ojo miope.

4.A2 puntos

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La figura muestra dos conductores rectilíneos, indefinidos y paralelos entre sí, separados una distancia $d = 4 cm$ . Por ellos circulan corrientes continuas de intensidades $I_{1}$ e $I_{2} = 2 I_{1}$ . En un punto equidistante a ambos conductores y en su mismo plano, estas corrientes generan un campo magnético $B = 3 \cdot 1 0^{- 5} k T$ . Dato: permeabilidad magnética del vacío, $μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7} T m/A$

a)Calcula la corriente $I_{1}$ .
b)Si una carga $q = 2 μ C$ pasa por dicho punto con una velocidad $v = 5 \cdot 1 0^{6}  m/s$ , calcula la fuerza $F$ (módulo, dirección y sentido) sobre ella. Representa los vectores $v$ , $B$ y $F$ .

En el punto medio: B = B₂ − B₁ saliente; F = qv×B hacia +x

Apartado a

1. Campo de cada hilo en el punto medio ( $r = 2$ cm)
$\frac{μ _{0}}{2 π r} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7}}{0 , 02} = 1 0^{- 5} T/A$ ; $B_{1} = 1 0^{- 5} I_{1}$ (entrante, $- k$ ) y $B_{2} = 1 0^{- 5} \cdot 2 I_{1}$ (saliente, $+ k$ )
Con corrientes paralelas los campos entre los hilos se oponen.
2. Campo total
$B = B_{2} - B_{1} = 1 0^{- 5} (2 I_{1} - I_{1}) = 1 0^{- 5} I_{1} = 3 \cdot 1 0^{- 5}$
$I_{1} = 3 A$ (y $I_{2} = 6$ A)
El campo total es saliente, como indica el enunciado ( $+ k$ ).

Apartado b

1. Fuerza de Lorentz
$F = q v \times B = 2 \cdot 1 0^{- 6} (5 \cdot 1 0^{6} ) \times (3 \cdot 1 0^{- 5} k) = 3 \cdot 1 0^{- 4} ( \times k)$
$F = 3 \cdot 1 0^{- 4}  N$
Módulo $3 \cdot 1 0^{- 4}$ N, dirección del eje $X$ , sentido $+ X$ ; es perpendicular a $v$ y a $B$ . Dibujo: $v$ hacia arriba, $B$ hacia el lector, $F$ hacia la derecha.

4.B1.5 puntos

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Se sitúan sobre el eje $X$ dos cargas positivas $q$ , puntuales e idénticas, separadas una distancia $2 a$ , tal y como se muestra en la figura. Calcula la expresión del vector campo eléctrico total en el punto $P$ situado en el eje $Y$ , a una distancia $a$ del origen. Dibuja los vectores campo generados por cada carga y el total en el punto $P$ .

En P(0, a): las componentes x se anulan; E total = (√2/2)·kq/a² hacia +y

1. Distancia y ángulo
Cada carga está a $r = a^{2} + a^{2} = a 2$ de $P$ ; las rectas carga- $P$ forman $4 5^{\circ}$ con los ejes
2. Campo de cada carga
$E = \frac{k q}{r ^{2}} = \frac{k q}{2 a ^{2}}$ ; $E_{1} = \frac{k q}{2 a ^{2}} \frac{( 1 , 1 )}{2}$ (carga en $- a$ ), $E_{2} = \frac{k q}{2 a ^{2}} \frac{( - 1 , 1 )}{2}$ (carga en $+ a$ )
Las dos cargas son positivas: los campos se alejan de ellas.
3. Campo total
Las componentes $x$ se anulan y las $y$ se suman: $E = 2 \cdot \frac{k q}{2 a ^{2}} \cdot \frac{1}{2} $
$E = \frac{2}{2} \frac{k q}{a ^{2}} $
Apunta hacia $+ Y$ , alejándose del origen.

5.A1.5 puntos

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Determina la velocidad a la que debe acelerarse un protón para que su longitud de onda asociada de De Broglie sea de $0, 05 nm$ . Calcula también su energía cinética (en eV). Datos: constante de Planck, $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} J \cdot s$ ; masa del protón, $m_{p} = 1, 7 \cdot 1 0^{- 27} kg$

1. Velocidad (De Broglie)
$λ = \frac{h}{m _{p} v} \Rightarrow v = \frac{h}{m _{p} λ} = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34}}{1 , 7 \cdot 1 0 ^{- 27} \cdot 5 \cdot 1 0 ^{- 11}}$
$v = 7, 80 \cdot 1 0^{3} m/s$
Muy inferior a $c$ : cálculo no relativista válido.
2. Energía cinética
$E_{c} = \frac{1}{2} m_{p} v^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1, 7 \cdot 1 0^{- 27} \cdot (7, 80 \cdot 1 0^{3})^{2}$
$E_{c} = 5, 17 \cdot 1 0^{- 20} J$
3. En electronvoltios ( $1 eV = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ J)
$E_{c} = \frac{5 , 17 \cdot 1 0 ^{- 20}}{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19}}$
$E_{c} = 0, 32 eV$
El enunciado no da la carga elemental; se usa $1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C.

5.B1.5 puntos

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Las partículas emitidas por las sustancias radiactivas pueden ser identificadas observando su desviación al atravesar un campo eléctrico. Razona gráficamente la dirección y sentido de la desviación sufrida, en relación con la dirección y sentido del campo eléctrico, para la emisión radiactiva de los tipos $α$ , $β^{-}$ , $γ$ , indicando las partículas que los constituyen.

α hacia la placa −, β⁻ hacia la placa + (más desviada), γ sin desviarse

1. Radiación $α$
Núcleos de helio $_{2}^{4}$ He (carga $+ 2 e$ )
Se desvía en el sentido del campo $E$ (hacia la placa negativa)
Desviación pequeña por su gran masa.
2. Radiación $β^{-}$
Electrones (carga $- e$ )
Se desvía en sentido contrario al campo (hacia la placa positiva)
Desviación grande por su pequeña masa.
3. Radiación $γ$
Fotones de alta energía (sin carga ni masa en reposo)
No se desvía
Atraviesa el campo en línea recta.

6.A1.5 puntos

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Actualmente existen varias compañías privadas que aspiran a desarrollar reactores de fusión nuclear para la obtención de energía. Una de ellas, situada en Canadá, pretende lograr la reacción de fusión $_{1}^{2} H +_{1}^{3} H \to_{b}^{a} X +_{0}^{1} n$ . Para evitar los problemas derivados de la emisión de $_{0}^{1} n$ , otra compañía, con sede en California, está intentando lograr la reacción $_{d}^{c} Y +_{5}^{11} B \to 3_{2}^{4} H e$ . Determina $a$ , $b$ , $c$ , $d$ y el nombre de los elementos $X$ e $Y$ .

1. Primera reacción
Número másico: $2 + 3 = a + 1 \Rightarrow a = 4$ . Número atómico: $1 + 1 = b + 0 \Rightarrow b = 2$
$X =_{2}^{4} He$ (helio)
2. Segunda reacción
Número másico: $c + 11 = 3 \cdot 4 = 12 \Rightarrow c = 1$ . Número atómico: $d + 5 = 3 \cdot 2 = 6 \Rightarrow d = 1$
$Y =_{1}^{1} H$ (hidrógeno, un protón)
La reacción $p +^{11} B \to 3 α$ no emite neutrones.

6.B2 puntos

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4 resultados comprobados en 2 apartados
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En un experimento de efecto fotoeléctrico, la luz puede incidir sobre un cátodo de Cesio (Cs) o de Zinc (Zn). Al representar la energía cinética máxima de los electrones frente a la frecuencia $f$ de la luz, se obtienen las rectas mostradas en la figura. Cuando la longitud de onda de la luz incidente es $λ = 500 nm$ , sólo se detectan electrones para el Cs, que tienen una energía cinética máxima $E_{C}^{m \overset{a}{ˊ} x} = 6, 63 \cdot 1 0^{- 20} J$ . Cuando $λ = 250 nm$ se detectan electrones para ambos cátodos, siendo $E_{C}^{m \overset{a}{ˊ} x} = 13, 26 \cdot 1 0^{- 20} J$ para el de Zn. Datos: constante de Planck, $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} J \cdot s$ ; velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$

a)Sin realizar ningún cálculo numérico, razona a qué elemento corresponden las rectas (1) y (2) y explica el significado de los puntos de corte de estas rectas con el eje horizontal (puntos $a$ y $b$ ).
b)Calcula el trabajo de extracción de electrones del Cs y Zn y los valores de los puntos $a$ y $b$ .

Rectas paralelas de pendiente h: (1) Cs con a = 5·10¹⁴ Hz y (2) Zn con b = 10·10¹⁴ Hz

Apartado a

1. Pendiente y corte
Las rectas $E_{c} = h f - W_{0}$ tienen la misma pendiente $h$ ; el corte con el eje horizontal es la frecuencia umbral $f_{0} = W_{0} / h$
Para $f < f_{0}$ no hay emisión.
2. Asignación de rectas
A $500$ nm solo emite el Cs: su umbral es menor que el del Zn
La recta (1) (corte $a$ , menor) es el Cs y la (2) (corte $b$ ) el Zn
El Zn tiene mayor trabajo de extracción ( $f_{0, Z n} > f_{0, C s}$ ). Los puntos $a$ y $b$ son las frecuencias umbral de Cs y Zn.

Apartado b

1. Trabajo de extracción del Cs ( $λ = 500$ nm)
$W_{C s} = \frac{h c}{λ} - E_{c} = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{8}}{5 \cdot 1 0 ^{- 7}} - 6, 63 \cdot 1 0^{- 20} = 3, 98 \cdot 1 0^{- 19} - 0, 66 \cdot 1 0^{- 19}$
$W_{C s} = 3, 32 \cdot 1 0^{- 19} J (2, 07 eV)$
2. Trabajo de extracción del Zn ( $λ = 250$ nm)
$W_{Z n} = \frac{h c}{λ} - E_{c} = 7, 96 \cdot 1 0^{- 19} - 1, 326 \cdot 1 0^{- 19}$
$W_{Z n} = 6, 63 \cdot 1 0^{- 19} J (4, 14 eV)$
3. Frecuencias umbral (puntos $a$ y $b$ )
$a = \frac{W _{C s}}{h} = \frac{3 , 315 \cdot 1 0 ^{- 19}}{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34}} = 5, 0 \cdot 1 0^{14} Hz, b = \frac{W _{Z n}}{h} = 1, 0 \cdot 1 0^{15} Hz$
$a = 5 \cdot 1 0^{14}$ Hz; $b = 10 \cdot 1 0^{14}$ Hz
Coherente: a $500$ nm ( $6 \cdot 1 0^{14}$ Hz) hay emisión en Cs ( $> a$ ) pero no en Zn ( $< b$ ).