Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2015 · Extraordinaria 2015

1.A1.5 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
2 resultados comprobados en 1 apartado
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Calcula a qué distancia desde la superficie terrestre se debe situar un satélite artificial para que describa órbitas circulares con un periodo de una semana. Datos: $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} N m^{2} k g^{- 2}$ ; $M_{T i er r a} = 5, 97 \cdot 1 0^{24} kg$ ; $R_{T i er r a} = 6370 km$

Altura de la órbita de periodo 7 días

1. Fuerza gravitatoria = centrípeta
$\frac{GM m}{r ^{2}} = m ω^{2} r = m \frac{4 π ^{2}}{T ^{2}} r \Rightarrow r^{3} = \frac{GM T ^{2}}{4 π ^{2}}$
Tercera ley de Kepler para una órbita circular alrededor de la Tierra.
2. Radio orbital
$T = 7 \cdot 86400 = 6, 048 \cdot 1 0^{5} s$ ; $r = (\frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 5 , 97 \cdot 1 0 ^{24} \cdot ( 6 , 048 \cdot 1 0 ^{5} ) ^{2}}{4 π ^{2}})^{1/3}$
$r = 1, 545 \cdot 1 0^{8} m$
3. Altura sobre la superficie
$h = r - R_{T} = 1, 545 \cdot 1 0^{8} - 6, 37 \cdot 1 0^{6}$
$h = 1, 48 \cdot 1 0^{8} m = 1, 48 \cdot 1 0^{5} km$
Unas 23 veces el radio terrestre: algo menos de la mitad de la distancia a la Luna.

1.B2 puntos

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Un planeta tiene la misma densidad que la Tierra y un radio doble que el de ésta. Ambos planetas se consideran esféricos.

a)Si una nave aterriza en dicho planeta, ¿cuál será su peso en comparación con el que la nave tiene en la Tierra?
b)Obtén la velocidad de escape en dicho planeta, si la velocidad de escape terrestre es de $11, 2 km/s$ .

Apartado a

1. Masa del planeta
Misma densidad: $M = ρ \frac{4}{3} π R^{3} \Rightarrow M^{'} = ρ \frac{4}{3} π (2 R)^{3} = 8 M$
$M^{'} = 8 M_{T}$
2. Gravedad superficial
$g^{'} = \frac{G M ^{'}}{R ^{'2}} = \frac{G \cdot 8 M}{4 R ^{2}} = 2 g_{T}$
$P^{'} = 2 P_{T}$
El peso se duplica: $g \propto ρR$ .

Apartado b

1. Velocidad de escape
$v_{e} = \frac{2 GM}{R} \Rightarrow \frac{v _{e}^{'}}{v _{e}} = \frac{M ^{'} / R ^{'}}{M / R} = \frac{8}{2} = 2$
$v_{e}^{'} = 2 \cdot 11, 2 = 22, 4 km/s$

2.A2 puntos

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Un altavoz produce una onda armónica que se propaga en el aire y que está descrita por la expresión $s (x, t) = 20 sen (6200 t - 18 x) μ m$ , con $t$ en segundos y $x$ en metros.

a)Determina la amplitud, la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda.
b)Calcula el desplazamiento, $s$ , y la velocidad de oscilación de una partícula del medio que se encuentra en $x = 20 cm$ en el instante $t = 1 ms$ .

s(t) en x = 20 cm

Apartado a

1. Comparación con $s = A sen (ω t - k x)$
$A = 20 μ m$ ; $ω = 6200 rad/s$ ; $k = 18 rad/m$
$A = 20 μ m$
2. Frecuencia y longitud de onda
$f = \frac{ω}{2 π} = \frac{6200}{2 π}$ ; $λ = \frac{2 π}{k} = \frac{2 π}{18}$
$f = 987 Hz$ ; $λ = 0, 349 m$
3. Velocidad de propagación
$v = λ f = \frac{ω}{k} = \frac{6200}{18}$
$v = 344 m/s$
Coincide con la velocidad del sonido en el aire.

Apartado b

1. Desplazamiento
Fase: $6200 \cdot 1 0^{- 3} - 18 \cdot 0, 2 = 2, 6 rad$ ; $s = 20 sen 2, 6$
$s = 10, 3 μ m$
Calculadora en radianes.
2. Velocidad de oscilación
$v_{osc} = \frac{\partial s}{\partial t} = 20 \cdot 6200 cos (6200 t - 18 x) μ m/s = 20 \cdot 6200 cos 2, 6$
$v_{osc} = - 1, 06 \cdot 1 0^{5} μ m/s = - 0, 106 m/s$
Negativa: en ese instante la partícula se mueve en sentido $- s$ .

2.B1.5 puntos

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Un bloque apoyado sobre una mesa sin rozamiento y sujeto a un muelle oscila entre las posiciones a) y b) de la figura. El tiempo que tarda en desplazarse entre a) y b) es de $2 s$ . Si en $t = 0 s$ el bloque se encuentra en la posición a), representa la gráfica de la posición en función del tiempo, $x (t)$ . Señala en dicha gráfica la amplitud, $A$ , y el periodo del movimiento. Indica razonadamente sobre la gráfica el punto correspondiente a la posición del bloque cuando ha trascurrido un tiempo $t = 1, 5$ periodos.

x(t) = A cos(πt/2)

1. Periodo
Ir de a) ( $x = + A$ ) a b) ( $x = - A$ ) es medio ciclo: $\frac{T}{2} = 2 s$
$T = 4 s$
2. Ecuación de la posición
En $t = 0$ está en $x = + A$ : $x (t) = A cos (\frac{2 π}{T} t) = A cos (\frac{π}{2} t)$
$x (t) = A cos (π t /2)$
Gráfica: coseno que parte de $+ A$ , corta el eje en $t = 1$ s, llega a $- A$ en $t = 2$ s y vuelve a $+ A$ en $t = 4$ s.
3. Posición en $t = 1, 5 T$
$t = 1, 5 \cdot 4 = 6 s$ : $x = A cos (3 π) = - A$
$x = - A$ (posición b)
Tras un periodo y medio, el bloque está en el extremo opuesto al inicial.

3.A1.5 puntos

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Un objeto real se sitúa frente a un espejo cóncavo, a una distancia menor que la mitad de su radio de curvatura. ¿Qué características tiene la imagen que se forma? Justifica la respuesta mediante un esquema de trazado de rayos.

Objeto dentro de la distancia focal

1. Situación
La distancia focal es $f = R /2$ : el objeto está entre el espejo y el foco ( $∣ s ∣ < f$ )
2. Ecuación del espejo
$\frac{1}{s} + \frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{f}$ con $s < 0$ y $f < 0$ (DIN): $\frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{s}$ da $s^{'} > 0$ y $∣ s^{'} ∣ > ∣ s ∣$
$s^{'} > 0$ (detrás del espejo)
3. Trazado de rayos
Rayo paralelo al eje: se refleja pasando por el foco. Rayo por el centro $C$ : vuelve por sí mismo. Los rayos reflejados divergen: se cortan al prolongarlos detrás del espejo
Imagen virtual, derecha y de mayor tamaño
Es la situación del espejo de afeitar o de maquillaje.

3.B1.5 puntos

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En la fotografía de la derecha, un haz láser que se propaga por el aire incide sobre la cara plana de un medio cuyo índice de refracción es $n$ . Determina $n$ y la velocidad de la luz en ese medio utilizando la información de la fotografía. Dato: velocidad de la luz en el aire, $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$

Refracción aire → medio

1. Lectura de ángulos (respecto a la normal, eje horizontal)
$θ_{1} = 4 0^{\circ}$ (aire); $θ_{2} \approx 2 5^{\circ}$ (medio)
2. Ley de Snell
$n_{ai r e} sen θ_{1} = n sen θ_{2} \Rightarrow n = \frac{sen 4 0 ^{\circ}}{sen 2 5 ^{\circ}} = \frac{0 , 643}{0 , 423}$
$n \approx 1, 5$
Valor típico del vidrio o del metacrilato.
3. Velocidad de la luz en el medio
$v = \frac{c}{n} = \frac{3 \cdot 1 0 ^{8}}{1 , 52}$
$v \approx 1, 97 \cdot 1 0^{8} m/s \approx 2 \cdot 1 0^{8} m/s$

4.A1.5 puntos

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Por un conductor rectilíneo de longitud muy grande, situado sobre el eje $Y$ , circula una corriente eléctrica uniforme de intensidad $I = 2 A$ , en el sentido positivo de dicho eje. En el punto $(1, 0) m$ se encuentra una carga eléctrica positiva $q = 2 μ C$ cuya velocidad es $v = 3 \cdot 1 0^{6}  m/s$ . Calcula la fuerza magnética que actúa sobre la carga y dibuja los vectores velocidad, campo magnético y fuerza magnética, en el punto donde se encuentra situada la carga. Dato: permeabilidad magnética del vacío, $μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7} T m/A$

Vectores v, B y F en (1, 0)

1. Campo del hilo en $(1, 0)$
$B = \frac{μ _{0} I}{2 π r} = \frac{4 π \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 2}{2 π \cdot 1} = 4 \cdot 1 0^{- 7} T$
$B = 4 \cdot 1 0^{- 7} T$
2. Sentido del campo
Regla de la mano derecha: con $I$ hacia $+ Y$ , a la derecha del hilo las líneas entran en el papel
$B = - 4 \cdot 1 0^{- 7} k T$
$u_{I} \times u_{r} =  \times  = - k$ .
3. Fuerza de Lorentz
$F = q v \times B = 2 \cdot 1 0^{- 6} \cdot 3 \cdot 1 0^{6}  \times (- 4 \cdot 1 0^{- 7} k)$ ; $ \times k = - $
$F = + 2, 4 \cdot 1 0^{- 6}  N$
Perpendicular a $v$ y a $B$ : hacia $+ Y$ (paralela a la corriente).

4.B2 puntos

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Una carga puntual de valor $q_{1} = - 3 μ C$ se encuentra en el punto $(0, 0) m$ y una segunda carga de valor desconocido, $q_{2}$ se encuentra en el punto $(2, 0) m$ . Dato: constante de Coulomb, $k_{e} = 9 \cdot 1 0^{9} N m^{2} / C^{2}$

a)Calcula el valor que debe tener la carga $q_{2}$ para que el campo eléctrico generado por ambas cargas en el punto $(5, 0) m$ sea nulo. Representa los vectores campo eléctrico generados por cada una de las cargas en ese punto.
b)Calcula el trabajo necesario para mover una carga $q_{3} = 0, 1 μ C$ desde el punto $(5, 0) m$ hasta el punto $(10, 0) m$ .

Campo nulo en (5, 0)

Apartado a

1. Campo de $q_{1}$ en $(5, 0)$
$E_{1} = \frac{k ∣ q _{1} ∣}{r _{1}^{2}} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{- 6}}{25}$ apuntando hacia $q_{1}$ (negativa)
$E_{1} = - 1080  N/C$
2. Condición de campo nulo
Para anularlo, $E_{2} = + 1080 $ (alejándose de $q_{2}$ , que está a 3 m): $q_{2}$ debe ser positiva
$\frac{k q _{2}}{3 ^{2}} = 1080$
Un campo hacia $+ X$ en $x = 5$ lo crea una carga positiva situada a su izquierda.
3. Valor de $q_{2}$
$q_{2} = \frac{1080 \cdot 9}{9 \cdot 1 0 ^{9}}$
$q_{2} = + 1, 08 \cdot 1 0^{- 6} C = 1, 08 μ C$

Apartado b

1. Potenciales
$V (5) = k (\frac{- 3 \cdot 1 0 ^{- 6}}{5} + \frac{1 , 08 \cdot 1 0 ^{- 6}}{3}) = - 2160 V$ ; $V (10) = k (\frac{- 3 \cdot 1 0 ^{- 6}}{10} + \frac{1 , 08 \cdot 1 0 ^{- 6}}{8}) = - 1485 V$
2. Trabajo del agente externo
$W_{e x t} = q_{3} [V (10) - V (5)] = 1 0^{- 7} \cdot 675$
$W_{e x t} = 6, 75 \cdot 1 0^{- 5} J$
Positivo: hay que aportar energía (el campo hace $- 6, 75 \cdot 1 0^{- 5}$ J).

5.A1.5 puntos

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Se mide la actividad de una pequeña muestra radiactiva. Los resultados se representan en la figura. Determina cuál es el isótopo radiactivo que constituye la muestra teniendo en cuenta la tabla proporcionada.

A(t) = 1000·2^(−t/8)

1. Periodo de semidesintegración de la gráfica
La actividad se reduce a la mitad entre $t = 0$ (1000 Bq) y $t = 8$ d (500 Bq), y otra vez a 250 Bq en $t = 16$ d
$T_{1/2} = 8 d$
Dos semividas consecutivas iguales confirman el decaimiento exponencial.
2. Unificación de unidades de la tabla
$^{32}$ P: 14,3 d; $^{42}$ K: $12360/24 = 515$ d; $^{47}$ Ca: $108, 8/24 = 4, 53$ d; $^{131}$ I: $691200/86400 = 8, 0$ d; $^{82}$ Br: $131750/86400 = 1, 52$ d; $^{147}$ Nd: 11 d
3. Identificación
El único con $T_{1/2} = 8$ d es el yodo-131
$_{53}^{131} I$

5.B1.5 puntos

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Determina la energía de enlace por nucleón (en $MeV$ ) para el núcleo de $_{1}^{3} H$ y para una partícula alfa. ¿Cuál de los dos núcleos será más estable? Datos: masa del protón, $m_{p} = 1, 007276 u$ ; masa del neutrón, $m_{n} = 1, 008665 u$ ; masa de la partícula alfa, $m_{α} = 4, 001505 u$ ; masa del núcleo de $_{1}^{3} H$ , $m (_{1}^{3} H) = 5, 0081 \cdot 1 0^{- 27} kg$ ; $1 u = 1, 6605 \cdot 1 0^{- 27} kg$ ; carga elemental, $e = 1, 602 \cdot 1 0^{- 19} C$ ; velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$

Energía de enlace por nucleón

1. Masa del tritio en u
$m (^{3} H) = \frac{5 , 0081 \cdot 1 0 ^{- 27}}{1 , 6605 \cdot 1 0 ^{- 27}} = 3, 01602 u$
2. Tritio: defecto de masa y energía
$Δ m = 1 \cdot 1, 007276 + 2 \cdot 1, 008665 - 3, 01602 = 0, 00859 u$ ; $E = Δ m c^{2} = 0, 00859 \cdot 1, 6605 \cdot 1 0^{- 27} \cdot 9 \cdot 1 0^{16} = 1, 283 \cdot 1 0^{- 12} J = 8, 01 MeV$
$E_{n} (^{3} H) = \frac{8 , 01}{3} = 2, 67 MeV/nucle \overset{o}{ˊ} n$
$1 MeV = 1, 602 \cdot 1 0^{- 13}$ J.
3. Partícula alfa
$Δ m = 2 \cdot 1, 007276 + 2 \cdot 1, 008665 - 4, 001505 = 0, 030377 u$ ; $E = 28, 34 MeV$
$E_{n} (α) = \frac{28 , 34}{4} = 7, 08 MeV/nucle \overset{o}{ˊ} n$
4. Estabilidad
Mayor energía de enlace por nucleón ⇒ núcleo más ligado
La partícula alfa es la más estable

6.A2 puntos

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En las partes altas de la atmósfera, y debido a los rayos cósmicos, se producen unas partículas elementales denominadas muones que se mueven a velocidades relativistas hacia la superficie de la Tierra. Un muón desciende verticalmente con una velocidad $v = 0, 9 c$ . Datos: velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$ , masa (en reposo) del muón: $m = 1, 88 \cdot 1 0^{- 28} kg$ , carga elemental, $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$

a)Calcula la energía en reposo y la energía total del muón en $MeV$ .
b)El muón se ha producido a una altura de $10 km$ . Calcula el intervalo de tiempo que tarda en alcanzar la superficie, según un sistema de referencia ligado a la Tierra, y según un sistema de referencia que viaje con el muón.

Apartado a

1. Energía en reposo
$E_{0} = m c^{2} = 1, 88 \cdot 1 0^{- 28} \cdot (3 \cdot 1 0^{8})^{2} = 1, 692 \cdot 1 0^{- 11} J = \frac{1 , 692 \cdot 1 0 ^{- 11}}{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19}} eV$
$E_{0} = 105, 8 MeV$
2. Energía total
$γ = \frac{1}{1 - 0 , 81} = 2, 294$ ; $E = γ E_{0}$
$E = 242, 6 MeV$

Apartado b

1. Tiempo en el sistema Tierra
$Δ t = \frac{h}{v} = \frac{1 0 ^{4}}{0 , 9 \cdot 3 \cdot 1 0 ^{8}}$
$Δ t = 3, 70 \cdot 1 0^{- 5} s$
2. Tiempo propio del muón
Dilatación del tiempo: $Δ t = γ Δ t_{0} \Rightarrow Δ t_{0} = \frac{3 , 70 \cdot 1 0 ^{- 5}}{2 , 294}$
$Δ t_{0} = 1, 61 \cdot 1 0^{- 5} s$
Para el muón el viaje dura menos: por eso llegan muones a la superficie aunque su vida media sea de unos $2 μ$ s en reposo.

6.B1.5 puntos

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Completa razonadamente la siguiente cadena de desintegración radiactiva. Identifica $X$ y obtén los valores $a$ , $b$ , $c$ y $d$ . $_{90}^{232} Th \to_{88}^{228} Ra +_{b}^{a} X$ ; $_{88}^{228} Ra \to_{d}^{c} Ac +_{- 1}^{0} e$

1. Conservación en la primera desintegración
Número másico: $232 = 228 + a \Rightarrow a = 4$ . Número atómico: $90 = 88 + b \Rightarrow b = 2$
$a = 4$ , $b = 2$ : $X =_{2}^{4} He$ (partícula $α$ )
2. Conservación en la segunda (beta menos)
$228 = c + 0 \Rightarrow c = 228$ ; $88 = d + (- 1) \Rightarrow d = 89$
$c = 228$ , $d = 89$ : $_{89}^{228} Ac$
En la desintegración $β^{-}$ un neutrón se convierte en protón: $Z$ aumenta en 1 y $A$ no cambia.