Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2011 · Ordinaria 2011

1.A2 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 2 apartados
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Se quiere situar un satélite en órbita circular a una distancia de $450 km$ desde la superficie de la Tierra. Datos: radio de la Tierra, $R_{T} = 6370 km$ ; masa de la Tierra, $M_{T} = 5, 9 \cdot 1 0^{24} kg$ ; constante de gravitación universal $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} N m^{2} /k g^{2}$

a)Calcula la velocidad que debe tener el satélite en esa órbita.
b)Calcula la velocidad con la que debe lanzarse desde la superficie terrestre para que alcance esa órbita con esa velocidad (supón que no actúa rozamiento alguno).

Órbita a h = 450 km; lanzamiento desde la superficie

Apartado a

1. Radio de la órbita
$r = R_{T} + h = 6370 + 450 = 6820 km = 6, 82 \cdot 1 0^{6} m$
2. Velocidad orbital
$\frac{G M _{T} m}{r ^{2}} = m \frac{v ^{2}}{r} \Rightarrow v = \frac{G M _{T}}{r} = \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 5 , 9 \cdot 1 0 ^{24}}{6 , 82 \cdot 1 0 ^{6}}$
$v = 7596 m/s$

Apartado b

1. Conservación de la energía mecánica
$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} - \frac{G M _{T} m}{R _{T}} = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{G M _{T} m}{r}$
$v_{0} = v^{2} + 2 G M_{T} (\frac{1}{R _{T}} - \frac{1}{r})$
2. Velocidad de lanzamiento
$v_{0} = 759 6^{2} + 2 \cdot 3, 935 \cdot 1 0^{14} (\frac{1}{6 , 37 \cdot 1 0 ^{6}} - \frac{1}{6 , 82 \cdot 1 0 ^{6}})$
$v_{0} = 8115 m/s$
Hay que aportar más velocidad que la orbital para ganar altura (energía potencial).

1.B1.5 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
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Suponiendo que el planeta Neptuno describe una órbita circular alrededor del Sol y que tarda $165$ años terrestres en recorrerla, calcula el radio de dicha órbita. Datos: constante de gravitación universal $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} N m^{2} /k g^{2}$ ; masa del Sol, $M_{S} = 1, 99 \cdot 1 0^{30} kg$

Neptuno: T = 165 años

1. Tercera ley de Kepler
$\frac{G M _{S} m}{r ^{2}} = m \frac{4 π ^{2}}{T ^{2}} r \Rightarrow r = (\frac{G M _{S} T ^{2}}{4 π ^{2}})^{1/3}$
2. Periodo en segundos
$T = 165 \cdot 365 \cdot 86400 = 5, 20 \cdot 1 0^{9} s$
3. Radio de la órbita
$r = (\frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 1 , 99 \cdot 1 0 ^{30} \cdot ( 5 , 20 \cdot 1 0 ^{9} ) ^{2}}{4 π ^{2}})^{1/3}$
$r = 4, 50 \cdot 1 0^{12} m$
Unas 30 veces la distancia Tierra–Sol ( $1, 5 \cdot 1 0^{11}$ m): $16 5^{2/3} = 30$ .

2.A2 puntos

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Una partícula realiza el movimiento armónico representado en la figura:

a)Obtén la amplitud, la frecuencia angular y la fase inicial de este movimiento. Escribe la ecuación del movimiento en función del tiempo.
b)Calcula la velocidad y la aceleración de la partícula en $t = 2 s$ .

y(t) = sen(2πt + 0,412) cm

Apartado a

1. Amplitud y frecuencia angular
De la gráfica: $A = 1 cm$ ; periodo $T = 1 s$ (entre dos máximos)
$A = 1 cm$ ; $ω = \frac{2 π}{T} = 2 π rad/s$
2. Fase inicial
$y (0) = A sen φ_{0} = 0, 4 \Rightarrow sen φ_{0} = 0, 4$ ; la curva sube en $t = 0$ (velocidad positiva)
$φ_{0} = arcsen 0, 4 = 0, 412 rad$ ( $23, 6^{\circ}$ )
Comprobación: el máximo llega en $t = (π /2 - φ_{0}) / ω = 0, 18$ s.
3. Ecuación del movimiento
$y (t) = A sen (ω t + φ_{0})$
$y (t) = 1 \cdot sen (2 π t + 0, 412) cm$

Apartado b

1. Velocidad en $t = 2$ s
$v = A ω cos (ω t + φ_{0}) = 2 π cos (4 π + 0, 412)$
$v = 5, 76 cm/s$
2. Aceleración en $t = 2$ s
$a = - A ω^{2} sen (ω t + φ_{0}) = - 4 π^{2} \cdot 0, 4$
$a = - 15, 8 cm/ s^{2}$
Es $- ω^{2} y$ con $y (2) = y (0) = 0, 4$ cm.

2.B1.5 puntos

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Una onda sinusoidal viaja por un medio en el que su velocidad de propagación es $v_{1}$ . En un punto de su trayectoria cambia el medio de propagación y la velocidad pasa a ser $v_{2} = 2 v_{1}$ . Explica cómo cambian la amplitud, la frecuencia y la longitud de onda. Razona brevemente las respuestas.

Misma f: λ₂ = 2λ₁

1. Frecuencia
La fija el foco emisor, no el medio
$f_{2} = f_{1}$
2. Longitud de onda
$λ = \frac{v}{f}$ : con $f$ constante y $v_{2} = 2 v_{1}$
$λ_{2} = 2 λ_{1}$ (el doble)
3. Amplitud
La amplitud depende de la energía de la onda y no de la velocidad; idealizando (sin absorción ni reflexión) se mantiene
$A_{2} \approx A_{1}$
En la práctica parte de la energía se refleja en la frontera y la amplitud transmitida es algo menor.

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Explica brevemente en qué consiste el fenómeno de difracción de una onda. ¿Qué condición debe cumplirse para que se pueda observar la difracción de una onda a través de una rendija?

Rendija con a ≲ λ

1. Fenómeno
La difracción es la desviación que sufre una onda al encontrar un obstáculo o una abertura: se propaga más allá de la zona «geométricamente» iluminada, como si cada punto de la abertura fuera un nuevo foco (principio de Huygens)
2. Condición
La difracción es apreciable cuando el tamaño $a$ de la rendija es del orden de la longitud de onda o menor
$a ≲ λ$
Con $a ≫ λ$ la onda pasa casi sin desviarse. Por eso oímos detrás de una esquina (sonido, $λ \sim$ m) pero no vemos a través de ella (luz, $λ \sim 0, 5 μ$ m).

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Dibuja el esquema de rayos de un objeto situado frente a un espejo esférico convexo ¿Dónde está situada la imagen y qué características tiene? Razona la respuesta.

Espejo convexo: imagen virtual, derecha y menor

1. Rayos principales
Rayo paralelo al eje: se refleja como si saliera del foco $F$ (detrás del espejo). Rayo dirigido al centro de curvatura $C$ : se refleja sobre sí mismo
2. Imagen
Las prolongaciones de los rayos reflejados se cortan detrás del espejo, entre el vértice y el foco
Imagen virtual, derecha y menor que el objeto
Con normas DIN: $f > 0$ , $s < 0$ ⇒ $s^{'} = \frac{s f}{s + f} (> 0)$ y $0 < m < 1$ para cualquier posición del objeto.

4.A1.5 puntos

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Dos cargas puntuales de valores $q_{1} = - 16 C$ y $q_{2} = 2 C$ y vectores de posición $r_{1} = - 4 $ y $r_{2} = 1 $ (en m) ejercen una fuerza total $F = - 2, 7 \cdot 1 0^{9} $ (en N) sobre una carga positiva situada en el origen de coordenadas. Calcula el valor de esta carga. Dato: constante de Coulomb $k = 9 \cdot 1 0^{9} N m^{2} / C^{2}$

Fuerzas sobre q en el origen

1. Fuerza de $q_{1}$ sobre $q$
$q_{1} < 0$ atrae a la carga positiva: hacia $- X$ (donde está $q_{1}$ ). $F_{1} = \frac{k ∣ q _{1} ∣ q}{4 ^{2}} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 16}{16} q$
$F_{1} = - 9 \cdot 1 0^{9} q $
2. Fuerza de $q_{2}$ sobre $q$
$q_{2} > 0$ (en $x = + 1$ ) repele a $q$ hacia $- X$ : $F_{2} = \frac{k q _{2} q}{1 ^{2}} = 9 \cdot 1 0^{9} \cdot 2 q$
$F_{2} = - 1, 8 \cdot 1 0^{10} q $
Las dos fuerzas apuntan hacia $- X$ : se suman.
3. Fuerza total y carga
$F = F_{1} + F_{2} = - 2, 7 \cdot 1 0^{10} q  = - 2, 7 \cdot 1 0^{9}  \Rightarrow q = \frac{2 , 7 \cdot 1 0 ^{9}}{2 , 7 \cdot 1 0 ^{10}}$
$q = 0, 1 C$

4.B2 puntos

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En una región del espacio hay dos campos, uno eléctrico y otro magnético, constantes y perpendiculares entre sí. El campo magnético aplicado es de $100 k mT$ . Se lanza un haz de protones dentro de esta región, en dirección perpendicular a ambos campos y con velocidad $v = 1 0^{6}  m/s$ . Calcula: En ambos apartados obtén el módulo, dirección y sentido de los vectores y represéntalos gráficamente, razonando brevemente la respuesta. Dato: carga elemental $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$

a)La fuerza de Lorentz que actúa sobre los protones.
b)El campo eléctrico que es necesario aplicar para que el haz de protones no se desvíe.

Selector de velocidades: F_m hacia −Y, E hacia +Y

Apartado a

1. Fuerza magnética
$F = e v \times B = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} \cdot 1 0^{6} \cdot 0, 1 ( \times k)$ ; $ \times k = - $
$F = - 1, 6 \cdot 1 0^{- 14}  N$
Módulo $1, 6 \cdot 1 0^{- 14}$ N, dirección $Y$ , sentido $- Y$ : perpendicular a $v$ y $B$ .

Apartado b

1. Condición de no desviación
Sin campo eléctrico los protones se desvían; con él hace falta $F_{e} + F_{m} = 0 \Rightarrow e E = - e v \times B$
$E = - v \times B$
Selector de velocidades: $E = v B$ .
2. Campo eléctrico
$v \times B = - 1 0^{5}  V/m$ (con $v B = 1 0^{6} \cdot 0, 1$ )
$E = + 1 \cdot 1 0^{5}  N/C$
La fuerza eléctrica sobre el protón es $+ 1, 6 \cdot 1 0^{- 14} $ N: anula a la magnética.

5.A1.5 puntos

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Una partícula viaja a una velocidad cuyo módulo vale $0, 98$ veces la velocidad de la luz en el vacío, ¿cuál es la relación entre su masa relativista y su masa en reposo? ¿Qué sucedería con la masa relativista si la partícula pudiera viajar a la velocidad de la luz? Razona tu respuesta.

1. Masa relativista
$m = γ m_{0} = \frac{m _{0}}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$
2. Para $v = 0, 98 c$
$\frac{m}{m _{0}} = \frac{1}{1 - 0 , 9 8 ^{2}} = \frac{1}{0 , 0396}$
$\frac{m}{m _{0}} = 5, 03$
La masa relativista es unas 5 veces la masa en reposo.
3. Para $v \to c$
El denominador $\to 0$ y $m \to \infty$ : haría falta energía infinita ( $E = m c^{2}$ ) para acelerar la partícula hasta $c$
Una partícula con masa en reposo no puede alcanzar $c$
Solo las partículas sin masa en reposo (fotones) viajan a $c$ .

5.B2 puntos

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En un experimento de efecto fotoeléctrico, cuando la luz que incide sobre un determinado metal tiene una longitud de onda de $550 nm$ , el módulo de la velocidad máxima con la que salen emitidos los electrones es de $2, 96 \cdot 1 0^{5} m/s$ . Datos: carga elemental $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$ ; masa del electrón $m_{e} = 9, 1 \cdot 1 0^{- 31} kg$ ; velocidad de la luz $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$ ; constante de Planck $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} J s$

a)Calcula la energía de los fotones, la energía cinética máxima de los electrones y la función trabajo del metal (todas las energías en electronvolt).
b)Calcula la longitud de onda umbral del metal.
c)Representa gráficamente la energía cinética máxima de los electrones en función de la frecuencia de los fotones, indicando el significado de la pendiente y de los cortes con los ejes.

E_c = hf − W₀

Apartado a

1. Energía del fotón
$E_{f} = \frac{h c}{λ} = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{8}}{550 \cdot 1 0 ^{- 9}} = 3, 62 \cdot 1 0^{- 19} J$
$E_{f} = 2, 26 eV$
2. Energía cinética máxima
$E_{c} = \frac{1}{2} m_{e} v^{2} = \frac{1}{2} \cdot 9, 1 \cdot 1 0^{- 31} \cdot (2, 96 \cdot 1 0^{5})^{2} = 3, 99 \cdot 1 0^{- 20} J$
$E_{c} = 0, 249 eV$
3. Función trabajo
$W_{0} = E_{f} - E_{c} = 2, 260 - 0, 249$
$W_{0} = 2, 01 eV = 3, 22 \cdot 1 0^{- 19} J$
Ecuación de Einstein: $E_{f} = W_{0} + E_{c}$ .

Apartado b

1. Longitud de onda umbral
$λ_{0} = \frac{h c}{W _{0}} = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{8}}{3 , 22 \cdot 1 0 ^{- 19}}$
$λ_{0} = 6, 18 \cdot 1 0^{- 7} m = 618 nm$

Apartado c

1. Gráfica
$E_{c} = h f - W_{0}$ : recta de pendiente $h$ que corta el eje de frecuencias en $f_{0} = \frac{W _{0}}{h} = 4, 85 \cdot 1 0^{14} Hz$ y el eje de energías (prolongada) en $- W_{0} = - 2, 01 eV$
Recta $E_{c} (f)$ con pendiente $h = 4, 14 \cdot 1 0^{- 15} eV s$
La pendiente es la constante de Planck, igual para todos los metales; el corte con el eje $f$ es la frecuencia umbral y el corte con el eje $E_{c}$ es $- W_{0}$ .

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Si la longitud de onda asociada a un protón es de $0, 1 nm$ , calcula su velocidad y su energía cinética. Datos: constante de Planck, $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} J s$ ; masa del protón, $m_{p} = 1, 67 \cdot 1 0^{- 27} kg$ .

1. Velocidad (De Broglie)
$λ = \frac{h}{m _{p} v} \Rightarrow v = \frac{h}{m _{p} λ} = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34}}{1 , 67 \cdot 1 0 ^{- 27} \cdot 1 0 ^{- 10}}$
$v = 3, 97 \cdot 1 0^{3} m/s$
$v ≪ c$ : se puede usar la mecánica clásica.
2. Energía cinética
$E_{c} = \frac{1}{2} m_{p} v^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1, 67 \cdot 1 0^{- 27} \cdot (3970)^{2}$
$E_{c} = 1, 32 \cdot 1 0^{- 20} J = 0, 082 eV$

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La gammagrafía es una técnica que se utiliza en el diagnóstico de tumores. En ella se inyecta al paciente una sustancia que contiene un isótopo del Tecnecio que es emisor de radiación gamma y cuyo periodo de semidesintegración es de $6$ horas. Haz una estimación razonada del tiempo que debe transcurrir para que la actividad en el paciente sea inferior al $6 %$ de la actividad que tenía en el momento de ser inyectado.

A/A₀ = 2^(−t/6)

1. Ley de la actividad
$A = A_{0} (\frac{1}{2})^{t / T_{1/2}}$ : se pide $A < 0, 06 A_{0}$
2. Número de semividas
$(\frac{1}{2})^{n} < 0, 06 \Rightarrow n > \frac{ln ( 1/0 , 06 )}{ln 2} = 4, 06$
$n > 4, 06$
Tras 4 semividas queda $6, 25 %$ (aún algo más del 6 %); tras 5, $3, 1 %$ .
3. Tiempo
$t > 4, 06 \cdot 6 h$
$t > 24, 4 h$ (poco más de un día)
Estimación: entre 4 y 5 semividas, es decir, entre 24 y 30 h; el valor exacto es 24,4 h.