Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2010 · Extraordinaria 2010

1.A1.5 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 1 apartado
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Explica brevemente el significado de la velocidad de escape. ¿Qué valor adquiere la velocidad de escape en la superficie terrestre? Calcúlala utilizando exclusivamente los siguientes datos: el radio terrestre $R = 6, 4 \cdot 1 0^{6} m$ y la aceleración de la gravedad $g = 9, 8 m/ s^{2}$ .

Energía mecánica nula ⇒ v = v_e

1. Significado
Velocidad mínima con la que hay que lanzar un cuerpo desde la superficie para que llegue al infinito con velocidad nula: energía mecánica total nula, $\frac{1}{2} m v_{e}^{2} - \frac{GM m}{R} = 0$
$v_{e} = \frac{2 GM}{R}$
2. Eliminación de $GM$
En la superficie $g = \frac{GM}{R ^{2}} \Rightarrow GM = g R^{2}$
$v_{e} = 2 g R$
Por eso bastan $g$ y $R$ .
3. Valor numérico
$v_{e} = 2 \cdot 9, 8 \cdot 6, 4 \cdot 1 0^{6}$
$v_{e} = 1, 12 \cdot 1 0^{4} m/s = 11, 2 km/s$

1.B2 puntos

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Un satélite se sitúa en órbita circular alrededor de la Tierra. Si su velocidad orbital es de $7, 6 \cdot 1 0^{3} m/s$ , calcula: Utilizar exclusivamente estos datos: aceleración de la gravedad en la superficie terrestre $g = 9, 8 m/ s^{2}$ ; radio de la Tierra $R = 6, 4 \cdot 1 0^{6} m$ .

a)El radio de la órbita y el periodo orbital del satélite.
b)La velocidad de escape del satélite desde ese punto.

v_e = √2 · v_orb

Apartado a

1. Producto $GM$
$g = \frac{GM}{R ^{2}} \Rightarrow GM = g R^{2} = 9, 8 \cdot (6, 4 \cdot 1 0^{6})^{2} = 4, 01 \cdot 1 0^{14} m^{3} / s^{2}$
2. Radio de la órbita
$v = \frac{GM}{r} \Rightarrow r = \frac{GM}{v ^{2}} = \frac{4 , 01 \cdot 1 0 ^{14}}{( 7 , 6 \cdot 1 0 ^{3} ) ^{2}}$
$r = 6, 95 \cdot 1 0^{6} m$
Unos $550$ km sobre la superficie.
3. Periodo
$T = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π \cdot 6 , 95 \cdot 1 0 ^{6}}{7 , 6 \cdot 1 0 ^{3}}$
$T = 5745 s = 95, 8 min$

Apartado b

1. Velocidad de escape desde la órbita
$v_{e} = \frac{2 GM}{r} = 2 v$
$v_{e} = 1, 07 \cdot 1 0^{4} m/s$
La velocidad de escape es $2$ veces la orbital.

2.A2 puntos

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Dos fuentes sonoras que están separadas por una pequeña distancia emiten ondas armónicas planas de igual amplitud, en fase y de frecuencia $1 kHz$ . Estas ondas se transmiten en el medio a una velocidad de $340 m/s$ .

a)Calcula el número de onda, la longitud de onda y el periodo de la onda resultante de la interferencia entre ellas.
b)Calcula la diferencia de fase en un punto situado a $1024 m$ de una fuente y a $990 m$ de la otra.

Δr = 34 m = 100 λ

Apartado a

1. Longitud de onda y periodo
$λ = \frac{v}{f} = \frac{340}{1000}$ ; $T = \frac{1}{f}$
$λ = 0, 34 m$ ; $T = 1 ms$
La superposición de ondas de igual $ω$ y $k$ da una onda con los mismos $ω$ y $k$ (solo cambia la amplitud).
2. Número de onda
$k = \frac{2 π}{λ} = \frac{2 π}{0 , 34}$
$k = 18, 5 rad/m$

Apartado b

1. Diferencia de fase
$Δ φ = k Δ r = \frac{2 π}{λ} (1024 - 990) = \frac{2 π \cdot 34}{0 , 34}$
$Δ φ = 200 π rad$
La diferencia de caminos es $100 λ$ : múltiplo entero de $λ$ , interferencia constructiva (amplitud doble).

2.B1.5 puntos

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La ecuación de una onda es: $y (x, t) = 0, 02 sen (10 π (x - 2 t) + 0, 52)$ donde $x$ se mide en metros y $t$ en segundos. Calcula la amplitud, la longitud de onda, la frecuencia, la velocidad de propagación y la fase inicial de dicha onda.

y(x, 0) con λ = 0,2 m

1. Forma general
$y = A sen (k x - ω t + φ_{0})$ con $10 π (x - 2 t) = 10 π x - 20 π t$
$A = 0, 02 m$ ; $k = 10 π rad/m$ ; $ω = 20 π rad/s$
2. Longitud de onda y frecuencia
$λ = \frac{2 π}{k} = \frac{2 π}{10 π}$ ; $f = \frac{ω}{2 π} = \frac{20 π}{2 π}$
$λ = 0, 2 m$ ; $f = 10 Hz$
3. Velocidad de propagación
$v = λ f = \frac{ω}{k} = \frac{20 π}{10 π}$
$v = 2 m/s$ (hacia $+ X$ )
Se propaga hacia $+ X$ porque aparece $x - 2 t$ .
4. Fase inicial
Valor de la fase en $x = 0$ , $t = 0$
$φ_{0} = 0, 52 rad$

3.A1.5 puntos

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Deseamos conseguir una imagen derecha de un objeto situado a $20 cm$ del vértice de un espejo. El tamaño de la imagen debe ser la quinta parte del tamaño del objeto. ¿Qué tipo de espejo debemos utilizar y qué radio de curvatura debe tener? Justifica brevemente tu respuesta.

Convexo: s = −20 cm, s' = +4 cm

1. Tipo de espejo
Imagen derecha y menor (aumento $m = + \frac{1}{5}$ ): solo la da un espejo convexo
Espejo convexo
El cóncavo da imágenes menores solo si son reales e invertidas.
2. Posición de la imagen
$m = - \frac{s ^{'}}{s} = \frac{1}{5}$ con $s = - 20 cm \Rightarrow s^{'} = + 4 cm$
Imagen virtual, 4 cm detrás del espejo
3. Distancia focal y radio
$\frac{1}{f} = \frac{1}{s} + \frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{- 20} + \frac{1}{4} = \frac{1}{5}$ ; $R = 2 f$
$f = + 5 cm$ ; $R = 10 cm$ (convexo)
Con DIN el espejo convexo tiene $f > 0$ y $R > 0$ .

3.B1.5 puntos

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¿Por qué se dispersa la luz blanca al atravesar un prisma? Explica brevemente este fenómeno.

Dispersión en un prisma

1. Causa
El índice de refracción del vidrio depende de la longitud de onda: $n = n (λ)$ (mayor para el violeta que para el rojo)
En el vacío todas las ondas viajan a $c$ , pero en el vidrio cada color tiene distinta velocidad $v = c / n (λ)$ .
2. Efecto con la ley de Snell
$sen θ_{1} = n (λ) sen θ_{2}$ : cada color se desvía un ángulo distinto en las dos caras del prisma
El violeta se desvía más que el rojo
La luz blanca, mezcla de colores, sale abierta en abanico: el espectro (arco iris).

4.A2 puntos

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Por dos conductores rectilíneos e indefinidos, que coinciden con los ejes $Y$ y $Z$ , circulan corrientes de $2 A$ en el sentido positivo de dichos ejes. Calcula: Datos: permeabilidad magnética del vacío $μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7} T m A^{- 1}$ ; carga del electrón $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$

a)El campo magnético en el punto $P$ de coordenadas $(0, 2, 1) cm$ .
b)La fuerza magnética sobre un electrón situado en el punto $P$ que se mueve con velocidad $v = 1 0^{4}  m/s$ .

Hilos en Y y Z: B total en P

Apartado a

1. Distancias de $P$ a cada hilo
Al eje $Y$ (corriente $+ Y$ ): $r_{Y} = z = 1 cm$ . Al eje $Z$ (corriente $+ Z$ ): $r_{Z} = y = 2 cm$
2. Campo del hilo $Y$
$B_{Y} = \frac{μ _{0} I}{2 π r _{Y}} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 2}{0 , 01} = 4 \cdot 1 0^{- 5} T$ ; dirección $u_{I} \times u_{r} =  \times k = + $
$B_{Y} = + 4 \cdot 1 0^{- 5}  T$
Regla de la mano derecha: $I \times r$ apunta en el sentido del campo.
3. Campo del hilo $Z$
$B_{Z} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 2}{0 , 02} = 2 \cdot 1 0^{- 5} T$ ; dirección $k \times  = - $
$B_{Z} = - 2 \cdot 1 0^{- 5}  T$
4. Campo total
$B = B_{Y} + B_{Z}$
$B = + 2 \cdot 1 0^{- 5}  T$

Apartado b

1. Fuerza sobre el electrón
$F = q v \times B = - 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} \cdot 1 0^{4} \cdot 2 \cdot 1 0^{- 5} ( \times )$ ; $ \times  = - k$
$F = + 3, 2 \cdot 1 0^{- 20} k N$
Módulo $3, 2 \cdot 1 0^{- 20}$ N, dirección $Z$ , sentido $+ Z$ .

4.B1.5 puntos

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Calcula el flujo de un campo magnético uniforme de $5 T$ a través de una espira cuadrada, de $1 metro$ de lado, cuyo vector superficie sea:

a)Perpendicular al campo magnético.
b)Paralelo al campo magnético.
c)Formando un ángulo de $3 0^{\circ}$ con el campo magnético.

Φ = B S cos θ

Apartado a

1. Definición
$Φ = B \cdot S = B S cos θ$ con $S = 1 m^{2}$ y $θ$ el ángulo entre $B$ y $S$
2. Vector superficie perpendicular a $B$
$θ = 9 0^{\circ}$ (el plano de la espira contiene al campo)
$Φ = 0$
Las líneas de campo «rozan» la espira y no la atraviesan.

Apartado b

1. Vector superficie paralelo a $B$
$θ = 0^{\circ}$ : $Φ = 5 \cdot 1 \cdot cos 0^{\circ}$
$Φ = 5 Wb$
Flujo máximo.

Apartado c

1. Ángulo de $3 0^{\circ}$
$Φ = 5 \cdot 1 \cdot cos 3 0^{\circ}$
$Φ = 4, 33 Wb$

5.A1.5 puntos

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Se quiere diseñar un sistema de diagnóstico por rayos X y se ha establecido que la longitud de onda óptima de la radiación sería de $1 nm$ . ¿Cuál ha de ser la diferencia de potencial entre el ánodo y el cátodo de nuestro sistema? Datos: carga del electrón $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$ ; constante de Planck $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} J s$ ; velocidad de la luz $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$ .

1. Condición
Los electrones acelerados por $V$ ganan $E_{c} = e V$ ; la radiación X de longitud de onda mínima corresponde a convertir toda esa energía en un fotón: $e V = h f = \frac{h c}{λ}$
2. Diferencia de potencial
$V = \frac{h c}{e λ} = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{8}}{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19} \cdot 1 0 ^{- 9}}$
$V = 1243 V \approx 1, 24 kV$
Es la ley de Duane–Hunt del espectro continuo de rayos X.

5.B2 puntos

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Una célula fotoeléctrica se ilumina con luz monocromática de $250 nm$ . Para anular la fotocorriente producida es necesario aplicar una diferencia de potencial de $2$ voltios. Calcula: Datos: constante de Planck $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} J s$ ; carga del electrón $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$ ; velocidad de la luz $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$

a)La longitud de onda máxima de la radiación incidente para que se produzca el efecto fotoeléctrico en el metal.
b)El trabajo de extracción del metal en electrón-volt.

Umbral 418 nm; luz de 250 nm: E_c = 2 eV

Apartado a

1. Longitud de onda umbral
$λ_{0} = \frac{h c}{W _{0}} = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{8}}{4 , 76 \cdot 1 0 ^{- 19}}$
$λ_{0} = 4, 18 \cdot 1 0^{- 7} m = 418 nm$
Con $λ > 418$ nm no hay efecto fotoeléctrico en este metal.

Apartado b

1. Energía del fotón
$E_{f} = \frac{h c}{λ} = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{8}}{250 \cdot 1 0 ^{- 9}} = 7, 96 \cdot 1 0^{- 19} J$
$E_{f} = 4, 97 eV$
2. Energía cinética máxima y trabajo de extracción
$E_{c} = e V_{0} = 2 eV$ ; $W_{0} = E_{f} - E_{c} = 4, 97 - 2$
$W_{0} = 2, 97 eV = 4, 76 \cdot 1 0^{- 19} J$
Ecuación de Einstein: $E_{f} = W_{0} + e V_{0}$ .

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Ajusta las siguientes reacciones nucleares completando los valores de número atómico y número másico que faltan. a) $_{Z}^{A} Li +_{1}^{1} H \to 2 α$ ; b) $_{92}^{235} U +_{0}^{1} n \to_{38}^{95} Sr +_{Z}^{A} Xe + 2_{0}^{1} n$

Apartado a

1. Reacción a): conservación de $A$ y $Z$
Cada $α$ es $_{2}^{4} He$ : $A + 1 = 2 \cdot 4 \Rightarrow A = 7$ ; $Z + 1 = 2 \cdot 2 \Rightarrow Z = 3$
$_{3}^{7} Li +_{1}^{1} H \to 2_{2}^{4} He$

Apartado b

1. Reacción b): número másico
$235 + 1 = 95 + A + 2 \cdot 1 \Rightarrow A = 139$
$A = 139$
2. Reacción b): número atómico
$92 + 0 = 38 + Z + 2 \cdot 0 \Rightarrow Z = 54$
$Z = 54$ (xenón): $_{54}^{139} Xe$
Fisión del uranio-235.

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Los periodos de semidesintegración de dos muestras radiactivas son $T_{1}$ y $T_{2} = 2 T_{1}$ . Si ambas tienen inicialmente el mismo número de núcleos radiactivos, razona cuál de las dos muestras presentará mayor actividad inicial.

A₀,1 = 2·A₀,2

1. Actividad inicial
$A_{0} = λ N_{0}$ con $λ = \frac{ln 2}{T _{1/2}}$
2. Comparación
$λ_{2} = \frac{ln 2}{2 T _{1}} = \frac{λ _{1}}{2}$ ; con el mismo $N_{0}$ : $\frac{A _{0, 1}}{A _{0, 2}} = \frac{λ _{1}}{λ _{2}} = 2$
$A_{0, 1} = 2 A_{0, 2}$
Tiene mayor actividad inicial la muestra 1, la de menor periodo: sus núcleos se desintegran más deprisa.