Resolución · PAU Madrid 2026 - Ordinaria (repertorio 3) · Ordinaria 2026 (repertorio 3)

12 puntos

Comprobado con cálculo simbólico

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 2 apartados
Sin constancia de revisión humana

Más sobre cómo verificamos

Enunciado y criterios oficiales (Conselleria/UV)

Ver errores ya corregidos

Dada la matriz real $A = 101 λ - 2 10 λ λ - 1 1$ , se pide:

a)Discutir el rango de $A$ en función del parámetro $λ$ .
b)Para el caso $λ = 2$ , resolver la ecuación matricial $A^{2} - A X = I$ , donde $I$ es la matriz identidad de orden $3$ .

Apartado a

1. $det A = 1 \cdot (1 - 0) - (λ - 2) [0 - (λ - 1)] + λ (0 - 1) = 1 + (λ - 2) (λ - 1) - λ$ .
$det A = λ^{2} - 4 λ + 3 = (λ - 1) (λ - 3)$
2. Si $λ \neq = 1, 3$ : $det A \neq = 0$ y $rg A = 3$ .
$rg A = 3$ para $λ \neq = 1, 3$
3. $λ = 1$ : $A = 101 - 1 10 101$ ; las filas 1 y 3 son $(1, - 1, 1)$ y $(1, 0, 1)$ , no proporcionales, y el menor $10 - 1 1 = 1 \neq = 0$ . $λ = 3$ : $A = 101110321$ , menor $1011 = 1 \neq = 0$ .
$rg A = 2$ para $λ = 1$ y para $λ = 3$

Apartado b

1. Para $λ = 2$ : $A = 101010211$ , $det A = - 1 \neq = 0$ . De $A^{2} - A X = I$ : $A X = A^{2} - I \Rightarrow X = A^{- 1} (A^{2} - I) = A - A^{- 1}$ .
$A^{- 1} = - 1 - 1 1 010 21 - 1$
2. Calculamos $X = A - A^{- 1}$ .
$X = 101010211 - - 1 - 1 1 010 21 - 1$
$X = 210000002$

22 puntos

Comprobado con cálculo simbólico

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
1 resultado comprobado en 1 apartado
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Se quiere enlosar un jardín con forma de triángulo rectángulo de catetos $42 m$ y $56 m$ . Dentro del jardín se va a diferenciar un espacio rectangular techado de forma que dos de sus lados sean paralelos a los catetos del triángulo, un vértice coincida con el vértice del ángulo recto del triángulo y el vértice opuesto esté sobre su hipotenusa. Alicatar la parte cubierta cuesta $30 € / m^{2}$ y la parte no techada, $50 € / m^{2}$ pues las baldosas llevan un tratamiento especial resistente al agua. Calcule las dimensiones de la parte techada que hacen que el coste de instalar el suelo en el jardín sea mínimo.

1. Ejes con el ángulo recto en el origen: catetos de $56$ (eje $x$ ) y $42$ (eje $y$ ). Hipotenusa: $\frac{x}{56} + \frac{y}{42} = 1$ . El rectángulo techado tiene lados $w$ (horizontal) y $h$ con el vértice opuesto en la hipotenusa.
$h = 42 (1 - \frac{w}{56}) = 42 - \frac{3 w}{4}, 0 < w < 56$
2. Área del jardín: $\frac{42 \cdot 56}{2} = 1176 m^{2}$ . Coste $= 30 w h + 50 (1176 - w h) = 58800 - 20 w h$ .
$C (w) = 58800 - 20 w (42 - \frac{3 w}{4}) = 15 w^{2} - 840 w + 58800$
3. Como el techado es más barato, el coste mínimo se alcanza al maximizar $w h$ . $C^{'} (w) = 30 w - 840 = 0$ .
$w = 28$
4. Es un mínimo: $C^{''} (w) = 30 > 0$ . Altura: $h = 42 - 21 = 21$ . Coste mínimo: $C (28) = 58800 - 20 \cdot 28 \cdot 21 = 47040$ €. En los extremos $C = 58800$ .
$h = 21$
Dimensiones $28 m \times 21 m$ (coste mínimo $47040$ €).

33 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Dados el plano $π : 2 x + 2 y - z = 13$ y la recta $r \equiv \frac{x - 2}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{4}$ .

a)Halle el punto simétrico del punto $P (2, 0, 0)$ respecto al plano $π$ .
b1)(Elegir b1 o b2) Halle la distancia entre el plano $π$ y la recta $r$ .
b2)(Elegir b1 o b2) Halle una ecuación del plano que contiene a la recta $r$ y es ortogonal al plano $π$ .

Apartado a

1. Recta por $P$ perpendicular a $π$ : $(2 + 2 λ, 2 λ, - λ)$ . Corte con $π$ : $2 (2 + 2 λ) + 2 (2 λ) - (- λ) = 13$ .
$4 + 9 λ = 13 \Rightarrow λ = 1$
Pie de la perpendicular $M = (4, 2, - 1)$
2. $M$ es el punto medio de $P$ y su simétrico $P^{'}$ : $P^{'} = 2 M - P$ .
$P^{'} = (8 - 2, 4 - 0, - 2 - 0)$
$P^{'} = (6, 4, - 2)$

Apartado b1

1. $d_{r} = (1, 1, 4)$ y $n = (2, 2, - 1)$ : $d_{r} \cdot n = 2 + 2 - 4 = 0$ , así que $r$ es paralela a $π$ . Además $P (2, 0, 0) \in r$ cumple $4 \neq = 13$ : no está contenida.
$d_{r} \cdot n = 0$
2. La distancia plano-recta es la de cualquier punto de la recta al plano.
$d = \frac{∣2 \cdot 2 + 0 - 0 - 13∣}{4 + 4 + 1} = \frac{9}{3}$
$d = 3$

Apartado b2

1. El plano contiene a $d_{r}$ y es ortogonal a $π$ (contiene a $n$ ): normal $d_{r} \times n = (- 9, 9, 0) ∥ (1, - 1, 0)$ .
$d_{r} \times n = (- 9, 9, 0)$
2. Por $P (2, 0, 0) \in r$ .
$1 \cdot (x - 2) - 1 \cdot y = 0$
$x - y - 2 = 0$
Comprobación: contiene a $d_{r}$ ( $1 - 1 = 0$ ).

4.12 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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2 resultados comprobados en 2 apartados
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El proveedor de una fábrica de móviles proporciona baterías cuya duración sigue una distribución normal con media $μ = 24$ horas y desviación típica $σ = 3$ horas. A efectos de control de calidad, se considera que una batería es defectuosa si su duración es inferior a $21$ horas.

a)Se elige un teléfono al azar de la línea de producción. Calcule la probabilidad de que su batería sea considerada defectuosa.
b)Un distribuidor recibe un lote de $10$ teléfonos. Suponiendo independencia entre ellos, ¿cuál es la probabilidad de que en ese lote haya al menos $9$ teléfonos con la batería no defectuosa?

Apartado a

1. $X \sim N (24, 3)$ . Defectuosa: $X < 21$ . Tipificamos: $Z = \frac{X - 24}{3}$ .
$P (X < 21) = P (Z < \frac{21 - 24}{3}) = P (Z < - 1) = 1 - P (Z < 1) = 1 - 0.8413$
$\approx 0.1587$

Apartado b

1. Cada teléfono tiene batería no defectuosa con $q = 1 - 0.1587 = 0.8413$ . $Y$ = nº de teléfonos no defectuosos en $10$ : $Y \sim B (10, 0.8413)$ .
$P (Y \geq 9) = (9 10) q^{9} (1 - q) + q^{10} \approx 10 \cdot 0.841 3^{9} \cdot 0.1587 + 0.841 3^{10}$
$\approx 0.513$

4.22 puntos

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3 resultados comprobados en 2 apartados
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Sabiendo que $P (B) = 0.4$ , $P (\overline{A \cup B}) = 0.4$ y $P (B ∣ A) = 0.2$ , calcule las siguientes probabilidades:

a) $P (\overline{A})$ y $P (A \cap B)$ .
b) $P ((A \cap B) ∣ (A \cup B))$ .

Apartado a

1. $P (A \cup B) = 1 - P (\overline{A \cup B}) = 0.6$ . De $P (B ∣ A) = 0.2$ : $P (A \cap B) = 0.2 P (A)$ . Por la fórmula de la unión:
$P (A) + 0.4 - 0.2 P (A) = 0.6 \Rightarrow 0.8 P (A) = 0.2$
$P (A) = 0.25$
2. Resultados.
$P (\overline{A}) = 1 - 0.25, P (A \cap B) = 0.2 \cdot 0.25$
$P (\overline{A}) = 0.75$ y $P (A \cap B) = 0.05$

Apartado b

1. $P ((A \cap B) ∣ (A \cup B)) = \frac{P ( ( A \cap B ) \cap ( A \cup B ) )}{P ( A \cup B )} = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A \cup B )}$ porque $A \cap B \subseteq A \cup B$ .
$\frac{0.05}{0.6}$
$\frac{1}{12} \approx 0.0833$

5.12 puntos

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Cómo se comprobó

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1 resultado comprobado en 1 apartado
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Sea $f (x) = ln (x)$ . Halle el área de la región acotada por la gráfica de $f (x)$ , el eje de abscisas y la recta $x = e$ .

1. $ln x$ corta al eje de abscisas en $x = 1$ y es positiva en $(1, e]$ : la región acotada es la de $[1, e]$ .
$ln x = 0 ⟺ x = 1$
2. Primitiva por partes: $\int ln x d x = x ln x - x$ .
$\int_{1}^{e} ln x d x = [x ln x - x]_{1}^{e} = (e - e) - (0 - 1)$
$1 u^{2}$

5.22 puntos

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
2 resultados comprobados en 2 apartados
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Sea la función $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 3 x^{2} - sen (a x) + b \frac{2 e ^{x}}{1 + x ^{2}} si x < 0 si x \geq 0$

a)Calcule los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua y derivable en $x = 0$ .
b)Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x = 2$ .

Apartado a

1. Continuidad en $0$ : $lim_{x \to 0^{-}} f = - sin 0 + b = b$ ; $f (0) = \frac{2 e ^{0}}{1} = 2$ .
$b = 2$
2. Derivabilidad en $0$ : $f^{'} (x) = 6 x - a cos (a x)$ para $x < 0$ , y $f^{'} (x) = \frac{2 e ^{x} ( 1 + x ^{2} ) - 2 e ^{x} \cdot 2 x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} = \frac{2 e ^{x} ( x - 1 ) ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}}$ para $x > 0$ . Igualamos las derivadas laterales.
$f^{'} (0^{-}) = - a, f^{'} (0^{+}) = 2 \Rightarrow - a = 2$
$a = - 2, b = 2$

Apartado b

1. En $x = 2$ se usa la rama $x \geq 0$ : $f (2) = \frac{2 e ^{2}}{5}$ .
$f^{'} (2) = \frac{2 e ^{2} \cdot 1}{25} = \frac{2 e ^{2}}{25}$
2. Recta tangente $y - f (2) = f^{'} (2) (x - 2)$ .
$y = \frac{2 e ^{2}}{5} + \frac{2 e ^{2}}{25} (x - 2)$
$y = \frac{2 e ^{2}}{25} x + \frac{6 e ^{2}}{25}$