Resolución · PAU Madrid 2025 - Ordinaria · Ordinaria 2025

12.5 puntos

Comprobado con cálculo simbólico

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
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Eris es un planeta enano del sistema solar descubierto en enero de 2005 por un equipo del observatorio del Monte Palomar dirigido por Michael E. Brown. Es el objeto transneptuniano más masivo, el segundo más grande después de Plutón, y el cuerpo más grande del sistema solar que no ha sido visitado por una sonda espacial. Tiene un diámetro de $2330 km$ , ligeramente inferior al de Plutón, y su densidad es de $2, 5 g c m^{- 3}$ . La órbita de Eris es muy excéntrica; actualmente el planeta se encuentra a su máxima distancia del Sol (afelio), a $1, 45 \cdot 1 0^{13} m$ , llegando a situarse a $5, 24 \cdot 1 0^{12} m$ del Sol durante su perihelio. Datos: constante de gravitación universal, $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} N m^{2} k g^{- 2}$ ; masa del Sol, $M_{Sol} = 1, 99 \cdot 1 0^{30} kg$ .

a)Calcule la masa del planeta y el valor de la aceleración de la gravedad en su superficie.
b)Sabiendo que la energía mecánica de un objeto de masa $m_{1}$ que orbita alrededor de un objeto de masa $m_{2}$ con una órbita elíptica de semieje mayor $a$ es $E_{mec} = - \frac{G m _{1} m _{2}}{2 a}$ , donde $G$ es la constante de la gravitación universal, halle la energía mecánica de Eris y calcule la velocidad orbital que tendrá en el perihelio.

Apartado a

1. Radio y densidad en unidades SI
$R = \frac{2330}{2} km = 1, 17 \cdot 1 0^{6} m$ ; $ρ = 2, 5 g/c m^{3} = 2500 kg/ m^{3}$
2. Masa de una esfera
$M = ρ \cdot \frac{4}{3} π R^{3}$
$M = 1, 66 \cdot 1 0^{22} kg$
3. Gravedad en la superficie
$g = \frac{GM}{R ^{2}}$
$g = 0, 814 m/ s^{2}$

Apartado b

1. Semieje mayor de la órbita
$a = \frac{r _{a} + r _{p}}{2}$
$a = 9, 87 \cdot 1 0^{12} m$
2. Energía mecánica de Eris (órbita alrededor del Sol, $m_{1} = M_{E r i s}$ , $m_{2} = M_{S o l}$ )
$E = - \frac{G M _{S o l} M}{2 a}$
$E = - \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 1 , 99 \cdot 1 0 ^{30} \cdot 1 , 66 \cdot 1 0 ^{22}}{2 \cdot 9 , 87 \cdot 1 0 ^{12}} = - 1, 11 \cdot 1 0^{29} J$
3. Velocidad en el perihelio: $E = \frac{1}{2} M v_{p}^{2} - \frac{G M _{S o l} M}{r _{p}}$
$v_{p} = G M_{S o l} (\frac{2}{r _{p}} - \frac{1}{a})$
$v_{p} = 6100 m/s$
La masa de Eris se cancela.

2.A2.5 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Un electrón de carga $- e$ y un positrón de carga $+ e$ se encuentran inicialmente fijos en el plano $x y$ en las posiciones $(0, 6) nm$ y $(0, - 6) nm$ , respectivamente. Datos: constante de la ley de Coulomb, $K = 9 \cdot 1 0^{9} N m^{2} C^{- 2}$ ; valor absoluto de la carga del electrón y del positrón, $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$ ; masa del electrón y del positrón, $m_{e} = 9, 1 \cdot 1 0^{- 31} kg$ .

a)Obtenga el campo eléctrico en el punto $(8, 0) nm$ debido a ambas partículas.
b)Si al positrón se le imprime una velocidad de $- 1, 5 \cdot 1 0^{5} m s^{- 1} j$ , permaneciendo fijo el electrón, determine la máxima distancia de alejamiento entre ambas partículas.

Apartado a

1. Distancia de cada partícula al punto $(8, 0)$ nm: $r = 8^{2} + 6^{2} = 10$ nm
$E = \frac{K ∣ q ∣}{r ^{2}} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19}}{( 1 0 ^{- 8} ) ^{2}} = 1, 44 \cdot 1 0^{7} N/C$
2. Electrón $(0, 6)$ , $q = - e$ : campo hacia el electrón. Positrón $(0, - 6)$ , $q = + e$ : campo que se aleja del positrón
Vectores unitarios $\overset{u}{^} = (\mp 8, \pm 6) /10$
$E_{e} = (- 1, 15 \cdot 1 0^{7}, 8, 64 \cdot 1 0^{6})$ ; $E_{p} = (1, 15 \cdot 1 0^{7}, 8, 64 \cdot 1 0^{6}) N/C$
3. Superposición: las componentes $x$ se anulan
$E = 1, 73 \cdot 1 0^{7} j N/C$

Apartado b

1. El positrón se aleja del electrón (atracción): se frena hasta $v = 0$ . Conservación de la energía con el electrón fijo
$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} - \frac{K e ^{2}}{d _{0}} = - \frac{K e ^{2}}{d _{ma x}}$ con $d_{0} = 12$ nm
$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = 1, 02 \cdot 1 0^{- 20} J$ ; $\frac{K e ^{2}}{d _{0}} = 1, 92 \cdot 1 0^{- 20} J$
2. Distancia máxima
$d_{ma x} = \frac{K e ^{2}}{\frac{K e ^{2}}{d _{0}} - \frac{1}{2} m v _{0}^{2}}$
$d_{ma x} = 2, 57 \cdot 1 0^{- 8} m = 25, 7 nm$

2.B2.5 puntos

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Una espira conductora circular de radio $20 cm$ se encuentra en el seno de un campo magnético homogéneo perpendicular al plano de la espira (ver figura en el PDF oficial). Si la espira tiene una resistencia de $40 Ω$ , calcule la máxima intensidad de corriente que circulará por la espira en los siguientes casos:

a)El módulo del campo magnético es constante de valor $B = 150 mT$ , y la espira gira en torno a uno de sus diámetros con una velocidad angular de $50 rad s^{- 1}$ .
b)La espira se encuentra fija, y el módulo del campo magnético varía con el tiempo conforme a $B = B_{0} sen (ω t)$ , con $B_{0} = 200 mT$ y $ω = 75 rad s^{- 1}$ .

Apartado a

1. Área de la espira y flujo al girar: $Φ = B S cos ω t$
$S = π R^{2}$
$S = π \cdot 0, 2 0^{2} = 0, 126 m^{2}$
2. FEM inducida
$ε = - \frac{d Φ}{d t} = B S ω sin ω t$
$ε_{ma x} = 0, 150 \cdot 0, 126 \cdot 50 = 0, 942 V$
3. Intensidad máxima
$I_{ma x} = \frac{ε _{ma x}}{R}$
$I_{ma x} = \frac{0 , 942}{40} = 0, 0236 A = 23, 6 mA$

Apartado b

1. Espira fija: $Φ = B_{0} S sin ω t$
$ε = - \frac{d Φ}{d t} = - B_{0} S ω cos ω t$
$ε_{ma x} = 0, 200 \cdot 0, 126 \cdot 75 = 1, 88 V$
2. Intensidad máxima
$I_{ma x} = \frac{ε _{ma x}}{R}$
$I_{ma x} = \frac{1 , 88}{40} = 47, 1 mA$

3.A2.5 puntos

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Una ballena sumergida en el mar a una cierta profundidad emite un potente sonido grave de $60 Hz$ y $25 m$ de longitud de onda. Un barco A, situado sobre su vertical, detecta dicho sonido con su sónar $80 ms$ después de ser emitido, y poco tiempo después es detectado por otro barco B situado a $300 m$ del barco A. Dato: intensidad umbral, $I_{0} = 1 \cdot 1 0^{- 12} W m^{- 2}$ .

a)Halle la profundidad a la que se encuentra la ballena.
b)Si el barco A recibe el sonido con una intensidad de $3 μ W m^{- 2}$ , calcule la potencia del sonido emitido por la ballena y el nivel de intensidad sonora que detectará el barco B.

Apartado a

1. Velocidad del sonido en el agua
$v = λ f$
$v = 25 \cdot 60 = 1500 m/s$
2. El barco A está en la vertical: distancia = profundidad
$h = v t$
$h = 1500 \cdot 0, 080 = 120 m$

Apartado b

1. Potencia emitida (onda esférica): $I_{A} = \frac{P}{4 π h ^{2}}$
$P = 4 π h^{2} I_{A}$
$P = 4 π \cdot 12 0^{2} \cdot 3 \cdot 1 0^{- 6} = 0, 543 W$
2. Distancia de la ballena al barco B: A está en la vertical y B a 300 m de A
$r_{B} = 12 0^{2} + 30 0^{2}$
$r_{B} = 323 m$
3. Intensidad y nivel en B
$I_{B} = \frac{P}{4 π r _{B}^{2}}$ ; $β = 10 lo g \frac{I _{B}}{I _{0}}$
$I_{B} = 4, 14 \cdot 1 0^{- 7} W m^{- 2}$ ; $β_{B} = 56, 2 dB$

3.B2.5 puntos

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Considere la imagen formada por una lente delgada de distancia focal $f^{'}$ de un objeto situado a una distancia $s$ a la izquierda de la lente.

a)Demuestre que el aumento lateral $M$ tiene la siguiente expresión en función de la distancia focal $f^{'}$ y la posición del objeto $s$ : $M = \frac{f ^{'}}{f ^{'} + s}$
b)Considerando la expresión obtenida en el apartado anterior, razone si una lente divergente puede formar una imagen invertida.
c)Dibuje el trazado de rayos a través del sistema óptico de la imagen formada por una lente divergente si el objeto se sitúa a una distancia dos veces su distancia focal.

Apartado a

1. Ecuación de las lentes delgadas (convenio DIN, $s < 0$ )
$\frac{1}{s ^{'}} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f ^{'}} \Rightarrow \frac{s ^{'}}{s} = \frac{f ^{'}}{f ^{'} + s}$
2. Despejando $s^{'}$
$\frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{f ^{'}} + \frac{1}{s} = \frac{s + f ^{'}}{f ^{'} s} \Rightarrow s^{'} = \frac{f ^{'} s}{f ^{'} + s}$
3. Aumento lateral
$M = \frac{s ^{'}}{s}$
$M = \frac{f ^{'}}{f ^{'} + s}$ (queda demostrado)

Apartado b

1. Lente divergente: $f^{'} < 0$ . Objeto real: $s < 0$
$f^{'} + s < 0$ también
$M = \frac{f ^{'}}{f ^{'} + s} = \frac{( - )}{( - )} > 0$
Cociente de dos números negativos.
2. Una imagen invertida exige $M < 0$
Como $M > 0$ siempre, la imagen es derecha: una lente divergente no forma imágenes invertidas con objeto real.
Además $∣ f^{'} ∣ < ∣ f^{'} + s ∣$ , luego $M < 1$ : imagen siempre menor.

Apartado c

1. Lente divergente de focal $f^{'} = - F$ y objeto en $s = - 2 F$ (con $F = ∣ f^{'} ∣$ )
$s^{'} = \frac{f ^{'} s}{f ^{'} + s} = \frac{( - F ) ( - 2 F )}{- 3 F}$
$s^{'} = - \frac{2}{3} F$ , $M = \frac{f ^{'}}{f ^{'} + s} = \frac{1}{3}$
2. Trazado: Rayo 1: paralelo al eje, se desvía como si saliera del foco imagen (del lado del objeto). Rayo 2: por el centro óptico, sin desviarse
Se prolongan hacia atrás los rayos divergentes; se cortan en $s^{'} = - \frac{2}{3} F$
Imagen virtual, derecha y reducida a un tercio, situada entre la lente y el foco, del lado del objeto.
Es un trazado gráfico: hay que dibujarlo.

4.A2.5 puntos

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Las moléculas de ozono absorben luz ultravioleta (UV) de alta energía, lo que evita que llegue a la superficie de la Tierra demasiada radiación dañina para los seres vivos. Datos: valor absoluto de la carga del electrón, $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$ ; constante de Planck, $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} J s$ ; velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 1 0^{8} m s^{- 1}$ .

a)Halle la diferencia de energía, expresada en electrón-voltios, entre los niveles electrónicos de la molécula de ozono que inducen la absorción de radiación de $260 nm$ .
b)Si el flujo de fotones de $260 nm$ que le llega a una persona con su cuerpo expuesto al sol es de $2, 6 \cdot 1 0^{14} fotones s^{- 1}$ , calcule la potencia que le incide debida a esos fotones UV y la energía recibida en $30$ minutos.

Apartado a

1. La diferencia de energía es la del fotón absorbido
$Δ E = h f = \frac{h c}{λ}$
$Δ E = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{8}}{260 \cdot 1 0 ^{- 9}} = 7, 65 \cdot 1 0^{- 19} J$
2. Paso a eV
$1 eV = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} J$
$Δ E = 4, 78 eV$

Apartado b

1. Potencia = fotones por segundo × energía de cada fotón
$P = Φ E_{f}$
$P = 2, 6 \cdot 1 0^{14} \cdot 7, 65 \cdot 1 0^{- 19} = 1, 99 \cdot 1 0^{- 4} W$
2. Energía en 30 min $= 1800$ s
$E = P t$
$E = 1, 99 \cdot 1 0^{- 4} \cdot 1800 = 0, 358 J$

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El mineral de cuarzo ( $Si O_{2}$ ) sobre la superficie de la Tierra contiene impurezas de aluminio, con una cantidad de $0, 1 %$ de átomos de $^{26} Al$ en relación a los átomos de silicio. Cuando el mineral se entierra debido a diversos procesos geológicos (sedimentación, glaciares, etc.) los átomos de $^{26} Al$ se desintegran con un tiempo de semidesintegración de $0, 72$ millones de años.

a)Calcule la actividad de una muestra de mineral de cuarzo, debida a la presencia de isótopos de $^{26} Al$ , situada en superficie si contiene $8, 3 \cdot 1 0^{22}$ átomos de silicio.
b)Se recoge una muestra de cuarzo de unos sedimentos, obteniéndose una relación de $0, 08 %$ de átomos de $^{26} Al$ respecto a los átomos de silicio. Obtenga la edad correspondiente a la formación de dichos sedimentos.

Apartado a

1. Átomos de $^{26}$ Al: $0, 1 %$ de los de silicio
$N_{A l} = 1 0^{- 3} \cdot 8, 3 \cdot 1 0^{22} = 8, 3 \cdot 1 0^{19}$
2. Constante de desintegración ( $T_{1/2} = 0, 72 \cdot 1 0^{6}$ años, 1 año $= 3, 156 \cdot 1 0^{7}$ s)
$λ = \frac{ln 2}{T _{1/2}}$
$λ = 3, 05 \cdot 1 0^{- 14} s^{- 1}$
3. Actividad
$A = λ N$
$A = 2, 53 \cdot 1 0^{6} Bq$

Apartado b

1. El número de átomos de $^{26}$ Al es proporcional a su proporción respecto al silicio (estable)
$\frac{N}{N _{0}} = \frac{0 , 08}{0 , 10} = 0, 8 = e^{- λ t}$
2. Edad
$t = \frac{1}{λ} ln \frac{N _{0}}{N}$
$t = \frac{ln ( 1/0 , 8 )}{3 , 05 \cdot 1 0 ^{- 14}} = 7, 31 \cdot 1 0^{12} s = 2, 32 \cdot 1 0^{5} a \overset{n}{˜} os$