Resolución · PAU Madrid 2025 - Extraordinaria · Extraordinaria 2025

12.5 puntos

Comprobado con cálculo simbólico

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
5 resultados comprobados en 2 apartados
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En Lund, Suecia, se está construyendo la futura Fuente Europea de Neutrones por Espalación. Los neutrones, por las características de la interacción neutrón-materia, son una herramienta muy eficiente para estudiar, analizar y comprender la estructura y propiedades de la materia. Las instalaciones de la Fuente Europea de Neutrones constan de un acelerador lineal en el que se aceleran protones, $H^{+}$ , hasta alcanzar, al final del acelerador, una energía cinética de $2 GeV$ . Posteriormente, se hace impactar el haz de protones sobre un blanco, consistente en un bloque giratorio de tungsteno mantenido a baja temperatura. Como consecuencia del choque el blanco emite neutrones. A los neutrones se les hace pasar por diferentes moderadores, áreas a una determinada temperatura, para modificar su energía cinética. Datos: velocidad de la luz en el vacío, $c = 3, 0 \cdot 1 0^{8} m s^{- 1}$ ; valor absoluto de la carga del electrón, $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$ ; masa del protón en reposo, $m_{p 0} = 1, 67 \cdot 1 0^{- 27} kg$ ; masa del neutrón, $m_{n} = 1, 67 \cdot 1 0^{- 27} kg$ ; constante de Planck, $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} J s$ .

a)Determine la masa relativista de los protones al final del acelerador lineal, cuando su energía cinética es de $2 GeV$ .
b)Si se obtienen neutrones con una energía cinética de $25 meV$ (no relativista), ¿cuál es el valor de su velocidad y de la longitud de onda de de Broglie?

Apartado a

1. Energía cinética relativista
$E_{c} = (m - m_{p 0}) c^{2}$
$E_{c} = 2 GeV = 2 \cdot 1 0^{9} \cdot 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} = 3, 2 \cdot 1 0^{- 10} J$
2. Masa relativista
$m = m_{p 0} + \frac{E _{c}}{c ^{2}}$
$m = 1, 67 \cdot 1 0^{- 27} + \frac{3 , 2 \cdot 1 0 ^{- 10}}{( 3 \cdot 1 0 ^{8} ) ^{2}} = 5, 23 \cdot 1 0^{- 27} kg$
Es unas 3,13 veces la masa en reposo.

Apartado b

1. Energía cinética no relativista
$E_{c} = \frac{1}{2} m_{n} v^{2}$
$E_{c} = 25 meV = 4 \cdot 1 0^{- 21} J$
2. Velocidad
$v = \frac{2 E _{c}}{m _{n}}$
$v = 2189 m/s$
3. Longitud de onda de De Broglie
$λ = \frac{h}{m _{n} v}$
$λ = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34}}{1 , 67 \cdot 1 0 ^{- 27} \cdot 2189} = 1, 81 \cdot 1 0^{- 10} m$

2.A2.5 puntos

Comprobado con cálculo simbólico

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Una nave alienígena se sitúa en una órbita circular de radio $r$ en torno a la Tierra. Los tripulantes de la nave observan que tardan $1, 59$ horas en dar una vuelta completa y saben que la velocidad de escape desde la órbita es $10, 7 km s^{- 1}$ . Dato: constante de gravitación universal, $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} N m^{2} k g^{- 2}$ .

a)Deduzca las expresiones del periodo de la órbita de la nave y de la velocidad de escape desde la órbita en función de $G$ , de la masa de la Tierra $M_{T}$ , y del radio de la órbita $r$ .
b)Calcule el radio de la órbita de la nave y la masa de la Tierra.

Apartado a

1. Fuerza gravitatoria = fuerza centrípeta
$\frac{G M _{T} m}{r ^{2}} = m \frac{v ^{2}}{r} \Rightarrow v = \frac{G M _{T}}{r}$
2. Periodo
$T = \frac{2 π r}{v}$
$T = 2 π \frac{r ^{3}}{G M _{T}}$
3. Velocidad de escape: energía mecánica nula en el infinito
$\frac{1}{2} m v_{e}^{2} - \frac{G M _{T} m}{r} = 0$
$v_{e} = \frac{2 G M _{T}}{r}$
Es $2$ veces la velocidad orbital.

Apartado b

1. De $v_{e} = 2 v$ : velocidad orbital
$v = \frac{10 , 7 \cdot 1 0 ^{3}}{2} = 7566 m/s$
2. Radio: $T = \frac{2 π r}{v}$ con $T = 1, 59 h = 5724 s$
$r = \frac{v T}{2 π}$
$r = 6, 89 \cdot 1 0^{6} m$
3. Masa de la Tierra: $v_{e}^{2} = \frac{2 G M _{T}}{r}$
$M_{T} = \frac{v _{e}^{2} r}{2 G}$
$M_{T} = 5, 92 \cdot 1 0^{24} kg$
Resultado coherente con la masa de la Tierra, $5, 97 \cdot 1 0^{24}$ kg.

2.B2.5 puntos

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Sean dos partículas idénticas de masas $m_{1} = m_{2} = 3 kg$ , situadas en los puntos $P_{1} (0, 0) m$ y $P_{2} (6, 0) m$ del plano $x y$ . Dato: constante de gravitación universal, $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} N m^{2} k g^{- 2}$ .

a)Halle el campo gravitatorio creado por ambas partículas en el punto $(3, 3) m$ .
b)Calcule el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria para llevar una partícula de masa $m = 1 kg$ desde el punto $(3, 3) m$ al punto $(0, 3) m$ .

Apartado a

1. Distancia de cada partícula al punto $(3, 3)$ : $r = 3^{2} + 3^{2} = 18$ m
$g = \frac{G m}{r ^{2}}$ dirigido hacia la partícula
$g_{1} = g_{2} = \frac{G \cdot 3}{18} = 1, 11 \cdot 1 0^{- 11} N/kg$
2. Componentes $x$ opuestas (se anulan); componentes $y$ iguales, hacia abajo: factor $sin 4 5^{\circ} = 3/ 18$
$g_{y} = - 2 g_{1} \frac{3}{18}$
$g = - 1, 57 \cdot 1 0^{- 11} j N/kg$

Apartado b

1. Potencial gravitatorio (suma escalar): $V = - G m (\frac{1}{r _{1}} + \frac{1}{r _{2}})$
En $(3, 3)$ : $r_{1} = r_{2} = 18$ . En $(0, 3)$ : $r_{1} = 3$ , $r_{2} = 45$
$V (3, 3) = - 9, 43 \cdot 1 0^{- 11} J/kg$ ; $V (0, 3) = - 9, 65 \cdot 1 0^{- 11} J/kg$
2. Trabajo de la fuerza gravitatoria
$W = m (V_{i} - V_{f})$
$W = 1 \cdot (- 9, 43 \cdot 1 0^{- 11} - (- 9, 65 \cdot 1 0^{- 11})) = 2, 2 \cdot 1 0^{- 12} J$
Es positivo: el potencial final es más negativo (la partícula se acerca al conjunto de las masas) y el campo realiza trabajo a favor del movimiento.

3.A2.5 puntos

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Un muelle de constante elástica $k$ tiene uno de sus extremos unido a una pared y el otro unido a un bloque de masa $m$ . El bloque se mueve sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Si el bloque se separa una distancia de $5 cm$ con respecto a la posición de equilibrio y se suelta, se observa que su energía cinética al pasar por el punto de equilibrio es $0, 02 J$ .

a)Determine la constante elástica del muelle, $k$ .
b)Si la masa del bloque es $m = 4 kg$ , calcule el periodo de las oscilaciones y el módulo de la velocidad del bloque cuando el desplazamiento con respecto al punto de equilibrio sea $x = 2 cm$ .

Apartado a

1. Conservación de la energía: en el equilibrio toda la energía es cinética
$E_{c}^{ma x} = \frac{1}{2} k A^{2}$
$k = \frac{2 E _{c}}{A ^{2}} = \frac{2 \cdot 0 , 02}{0 , 0 5 ^{2}} = 16 N/m$

Apartado b

1. Pulsación y periodo
$ω = \frac{k}{m}$ ; $T = \frac{2 π}{ω}$
$ω = 2 rad/s$ ; $T = 3, 14 s$
2. Velocidad en $x = 2$ cm
$v = ω A^{2} - x^{2}$
$v = 2 0, 0 5^{2} - 0, 0 2^{2} = 0, 0917 m/s$
Se comprueba con energías: $\frac{1}{2} m v^{2} = E - \frac{1}{2} k x^{2}$ .

3.B2.5 puntos

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Se sitúa a la izquierda de una lente convergente un objeto de $4 cm$ de altura, formándose una imagen real de tamaño $2 cm$ . La distancia entre la posición del objeto y la posición de la imagen es de $45 cm$ .

a)Determine la posición del objeto, de la imagen y la distancia focal de la lente.
b)Halle la posición en la que hay que colocar el objeto para que el tamaño de la imagen real que se forme sea de $4 cm$ . Realice en este caso el correspondiente diagrama de rayos.

Apartado a

1. Imagen real e invertida de 2 cm con objeto de 4 cm: $M = s^{'} / s = - \frac{1}{2}$ (convenio DIN: $s < 0$ , $s^{'} > 0$ )
$∣ s ∣ + ∣ s^{'} ∣ = 45$ cm y $∣ s^{'} ∣ = \frac{1}{2} ∣ s ∣$
$∣ s ∣ = 30 cm, ∣ s^{'} ∣ = 15 cm$
2. Posiciones
$s = - 30 cm$ (a la izquierda); $s^{'} = + 15 cm$ (a la derecha)
3. Ecuación de las lentes
$\frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{s ^{'}} - \frac{1}{s} = \frac{1}{15} + \frac{1}{30}$
$f^{'} = 10 cm$

Apartado b

1. Imagen real del mismo tamaño que el objeto (4 cm): $M = - 1$
$s^{'} = - s$ y $\frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{s ^{'}} - \frac{1}{s} = - \frac{2}{s}$
$s = - 2 f^{'} = - 20 cm$ ; $s^{'} = + 20 cm$
2. Diagrama de rayos: objeto en $2 F$ (a 20 cm)
Rayo 1: paralelo al eje, sale por el foco imagen. Rayo 2: por el centro óptico, sin desviarse. Rayo 3: pasa por el foco objeto y sale paralelo al eje
Se cortan en $2 F^{'}$ (a 20 cm, a la derecha): imagen real, invertida y del mismo tamaño.
Es un trazado gráfico: hay que dibujarlo.

4.A2.5 puntos

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Un espectrómetro de masas consta de un selector de velocidades (figura (a) del PDF oficial) y de un detector de iones (figura (b)). Datos: número de Avogadro, $N_{A} = 6, 02 \cdot 1 0^{23} mo l^{- 1}$ ; valor absoluto de la carga del electrón, $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$ ; masa atómica del ion $C a^{2 +}$ , $40 u$ .

a)En el selector de velocidades, figura (a), hay un campo eléctrico y un campo magnético mutuamente perpendiculares para que solo los iones que tengan una cierta velocidad y viajen en línea recta lleguen al detector. Si el campo magnético es $B_{1} = 1, 0 j mT$ y se han inyectado iones $C a^{2 +}$ , ¿cuál es el valor del campo eléctrico $E$ para que únicamente los iones con una velocidad $v = 2, 4 \cdot 1 0^{5} i m s^{- 1}$ lleguen al detector?
b)A la salida del selector de velocidades, los iones penetran en una región con un campo magnético $B_{2} = 1, 5 j T$ que les hace describir una trayectoria circular, tal y como se indica en la figura (b). ¿Cuál es el radio de la trayectoria?

Apartado a

1. Selector de velocidades: fuerza eléctrica = fuerza magnética
$q E = q v B_{1} \Rightarrow E = v B_{1}$
$E = 2, 4 \cdot 1 0^{5} \cdot 1, 0 \cdot 1 0^{- 3} = 240 V/m$
2. Dirección: $F_{m} = q v \times B = q v B_{1} (i \times j) = q v B_{1} k$ (con $q > 0$ ); la fuerza eléctrica debe ser opuesta
$E = - 240 k V/m$
El módulo no depende de la figura; la dirección y sentido se han obtenido de los vectores del texto.

Apartado b

1. Masa del ion: $m = \frac{40 u}{N _{A}}$ y carga $q = 2 e$
$m = \frac{40 g/mol}{6 , 02 \cdot 1 0 ^{23}} = 6, 64 \cdot 1 0^{- 26} kg$ ; $q = 3, 2 \cdot 1 0^{- 19} C$
2. Trayectoria circular en $B_{2}$ (perpendicular a $v$ ): $q v B_{2} = \frac{m v ^{2}}{r}$
$r = \frac{m v}{q B _{2}}$
$r = 0, 0332 m = 3, 32 cm$

4.B2.5 puntos

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Un hilo rectilíneo infinito paralelo al eje $z$ pasa por el punto $(0, 6, 0) cm$ y transporta una corriente $I = 5 A$ en el sentido positivo del eje $z$ . Dato: permeabilidad magnética del vacío, $μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7} T m A^{- 1}$ .

a)Calcule el campo magnético creado por el hilo en el punto $(4, 2, 0) cm$ .
b)Determine la intensidad de corriente que debe transportar un segundo hilo rectilíneo infinito que se sitúe paralelo al eje $z$ y que pase por el punto $(6, 0, 0) cm$ para que el campo magnético total en el punto $(4, 2, 0) cm$ sea cero.

Apartado a

1. Vector desde el hilo al punto: $r = (4 - 0, 2 - 6) = (4, - 4)$ cm, $d = 42$ cm
$B = \frac{μ _{0} I}{2 π d}$ con dirección $\overset{z}{^} \times \overset{r}{^}$
$B = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 5}{0 , 0566} = 1, 77 \cdot 1 0^{- 5} T$
2. Vector
$\overset{z}{^} \times (4, - 4) /∣..∣ = (4, 4) / (42)$
$B = (1, 25 \cdot 1 0^{- 5} i + 1, 25 \cdot 1 0^{- 5} j) T$

Apartado b

1. Segundo hilo en $(6, 0)$ : $r_{2} = (4 - 6, 2 - 0) = (- 2, 2)$ cm, $d_{2} = 22$ cm. Para $I_{2} > 0$ (sentido $+ z$ ): $\overset{z}{^} \times \overset{r}{^}_{2} \propto (- 1, - 1)$ , opuesto a $B_{1} \propto (1, 1)$
Anulación: $\frac{μ _{0} I _{2}}{2 π d _{2}} = \frac{μ _{0} I}{2 π d _{1}}$
$I_{2} = I \frac{d _{2}}{d _{1}} = 5 \cdot \frac{2 2}{4 2} = 2, 5 A$
El sentido es el mismo que el del primer hilo (+z).

Resolución publicada: la revisión de cada problema se indica en su ficha y el método está en cómo verificamos. ¿Ves un error? Cuéntanoslo.