Matrices y determinantes para la PAU: rango, inversa y sistemas paso a paso

El examen que de verdad te prepara: matrices y determinantes

Si estás repasando Matemáticas II para la PAU, "álgebra" significa casi siempre lo mismo: matrices, determinantes, rango e inversa, y al final un sistema de ecuaciones con un parámetro que hay que discutir. Es una de las dos preguntas de Álgebra que aparece siempre — la otra opción suele ser geometría o un sistema — y se puede sacar la nota máxima con una rutina de pasos muy concreta. Esta guía te la da, con ejemplos reales de la PAU de la Comunitat Valenciana.

Lo que de verdad hay que dominar

• Determinante: en 2×2 y 3×3 (regla de Sarrus) se calcula directo; en 4×4 hace falta desarrollar por cofactores. El truco de Bachillerato es aprovechar filas o columnas con ceros para no desarrollar por todas.
• Rango: es el número de filas (o columnas) que quedan no nulas tras escalonar la matriz por Gauss-Jordan. Si el rango es menor que el número de filas o columnas, la matriz es singular.
• Inversa: solo existe si el determinante no es cero. Se calcula escalonando la matriz aumentada [A|I] hasta dejar la identidad a la izquierda.
• Sistemas con parámetro: aquí es donde más puntos se pierden. El teorema de Rouché-Frobenius compara rango(A) con rango(A|b) y con el número de incógnitas para decidir si el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible — y casi siempre el parámetro "crítico" es el valor que anula el determinante.

Un caso real: la PAU de junio de 2025

En la pregunta 2.2 del examen de Matemáticas II (Comunitat Valenciana, Ordinaria 2025) aparece este sistema con parámetro a:

3x − 2y − 3z = 0 2x + ay − 5z = −3 x + y + 2z = 3

El determinante de la matriz de coeficientes sale 9a + 27, que se anula en a = −3. Para cualquier otro valor de a el sistema tiene solución única; para a = −3 hay infinitas soluciones. Tienes la resolución completa, paso a paso, con las dos alternativas de la pregunta 2 (matrices y sistema) y el resto del examen, en nuestra resolución de la PAU de Matemáticas II, junio 2025.

Cómo practicar esto en Selectia sin perder tiempo

En vez de calcular un determinante 4×4 a mano para comprobar si te has equivocado en un paso intermedio, puedes escribir la misma matriz en la calculadora de matrices con pasos: eliges la operación (determinante, rango, inversa o sistema Ax=b), el tamaño, y ves cada paso de Gauss-Jordan con fracciones exactas — igual que tendrías que escribirlo en el examen, sin redondeos que te hagan dudar si el resultado es realmente 1/3 o 0,333. Sirve tanto para verificar un ejercicio del libro como para generar variantes y practicar el mismo tipo de sistema con otros números.

Tres errores que se repiten cada convocatoria

1. Olvidar discutir el caso incompatible. No todos los sistemas con parámetro tienen un caso de infinitas soluciones; hay que comprobar también si puede dar rango(A) < rango(A|b).
2. Calcular la inversa sin comprobar antes el determinante. Si det(A) = 0, la inversa no existe — perder tiempo escalonando una matriz singular es un error muy común bajo presión.
3. No justificar los pasos. El criterio de corrección oficial de la PAU valora el razonamiento, no solo el resultado final: escribe explícitamente qué operación de fila estás aplicando en cada paso.

Si quieres seguir practicando con exámenes reales resueltos paso a paso, el banco de exámenes de Matemáticas II de la Comunitat Valenciana tiene las convocatorias oficiales de los últimos años.